Savoir résoudre des inéquations avec les exponentielles - Exercice 1

25 min
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Résoudre les inéquations suivantes sur R\mathbb{R}.
Question 1

e5x+1>1e^{5x+1} >1

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e5x+1>1e^{5x+1} >1 équivaut successivement à :
e5x+1>e0e^{5x+1} >e^{0}
5x+1>05x+1>0
x>−15x>\frac{-1}{5}

Ainsi S=]−15;+∞[S=\left]\frac{-1}{5} ;+\infty \right[
Question 2

e2x−5≤1e^{2x-5} \le 1

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e2x−5≤1e^{2x-5} \le 1 équivaut successivement à :
e2x−5≤e0e^{2x-5} \le e^{0}
2x−5≤02x-5\le 0
2x≤52x\le 5
x≤52x\le \frac{5}{2}

Ainsi S=]−∞;52]S=\left]-\infty ; \frac{5}{2}\right]
Question 3

e−2x+5≤ex+1e^{-2x+5} \le e^{x+1}

Correction
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e−2x+5≤ex+1e^{-2x+5} \le e^{x+1} équivaut successivement à :
−2x+5≤x+1-2x+5\le x+1
x≥43x\ge \frac{4}{3}

Ainsi S=[43;+∞[S=\left[\frac{4}{3} ;+\infty \right[
Question 4

e4+x<ee^{4+x} <e

Correction
  • e1=ee^{1} =e
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e4+x<ee^{4+x} <e équivaut successivement à :
e4+x<e1e^{4+x} <e^{1}
4+x<14+x<1
x<1−4x<1-4
x<−3x<-3
Finalement : S=]−∞;−3[S =\left]-\infty ;-3\right[
Question 5

e3x−2<1ee^{3x-2} <\frac{1}{e}

Correction
  • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
  • e1=ee^{1} =e
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e3x−2<1ee^{3x-2} <\frac{1}{e} équivaut successivement à :
e3x−2<1e1e^{3x-2} <\frac{1}{e^{1}}
e3x−2<e−1e^{3x-2} <e^{-1}
3x−2<−13x-2<-1
3x<−1+23x<-1+2
3x<13x<1
x<13x<\frac{1}{3}
Finalement : S=]−∞;13[S=\left]-\infty ;\frac{1}{3} \right[
Question 6

e−2x+5≥ex+1e−2x+6e^{-2x+5} \ge e^{x+1} e^{-2x+6}

Correction
  • eAeB=eA+Be^{A} e^{B}=e^{A+B}
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
    • e−2x+5≥ex+1e−2x+6e^{-2x+5} \ge e^{x+1} e^{-2x+6} équivaut successivement à :
    e−2x+5≥ex+1−2x+6e^{-2x+5} \ge e^{x+1-2x+6}
    e−2x+5≥e−x+7e^{-2x+5} \ge e^{-x+7}
    −2x+5≥−x+7-2x+5\ge -x+7
    −2x+x≥7−5-2x+x\ge 7-5
    −x≥2-x\ge 2
    x≤−2x\le -2

    Ainsi S=]−∞;−2]S=\left]-\infty ;-2\right]
    Question 7

    e−2x+5≥e3xe4x+4e^{-2x+5} \ge \frac{e^{3x} }{e^{4x+4} }

    Correction
  • eAeB=eA−B\frac{e^{A}}{ e^{B}}=e^{A-B}
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
    • e−2x+5≥e3xe4x+4e^{-2x+5} \ge \frac{e^{3x} }{e^{4x+4} } équivaut successivement à :
    e−2x+5≥e3x−(4x+4)e^{-2x+5} \ge e^{3x-\left(4x+4\right)}
    e−2x+5≥e3x−4x−4e^{-2x+5} \ge e^{3x-4x-4}
    e−2x+5≥e−x−4e^{-2x+5} \ge e^{-x-4}
    −2x+5≥−x−4-2x+5\ge -x-4
    −2x+x≥−4−5-2x+x\ge -4-5
    −x≥−9-x\ge -9
    x≤9x\le 9

    Ainsi S=]−∞;9]S=\left]-\infty ;9\right]
    Question 8

    ex2<e4e^{x^{2} } <e^{4}

    Correction
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
    • ex2<e4e^{x^{2} } <e^{4} équivaut successivement à :
    x2<4x^{2} <4
    x2−4<0x^{2} -4<0
    Utilisons le discriminant puis un tableau de signe pour donner les solutions. Il vient alors que :
    Δ=16\Delta =16 ; x1=−2x_{1} =-2 et x2=2x_{2} =2

    Ainsi : S=]−2;2[S=\left]-2;2\right[
    Question 9

    e2x+1≤−e5x+6e^{2x+1} \le -e^{5x+6}

    Correction
    L'inéquation e2x+1≤−e5x+6e^{2x+1} \le -e^{5x+6} n'a pas de solution car une exponentielle est strictement positive.
    En effet, e2x+1e^{2x+1} est strictement positive alors que −e5x+6-e^{5x+6} est strictement négative.
    Donc e2x+1≤−e5x+6e^{2x+1} \le -e^{5x+6} n'a pas de sens !
    Il n'y a donc pas de solutions pour cette inéquation.
    Question 10

    e≥e1xe\ge e^{\frac{1}{x} }

    Correction
    • e1=ee^{1} =e
    • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
    • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
    Soit x≠0x\ne 0
    e≥e1xe\ge e^{\frac{1}{x} } équivaut successivement à :
    e1≥e1xe^{1} \ge e^{\frac{1}{x} }
    1≥1x1\ge \frac{1}{x}
    1−1x≥01-\frac{1}{x}\ge 0
    x−1x≥0\frac{x-1}{x} \ge 0
    Il va falloir faire un tableau de signe. Il vient alors que :
    Finalement : S=]−∞;0[∪[1;+∞[S =\left]-\infty ;0\right[\cup \left[1;+\infty \right[

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