La fonction exponentielle

Savoir résoudre des équations avec les exponentielles - Exercice 3

10 min
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Résoudre les équation suivantes sur R\mathbb{R}.
A faire une fois que vous aurez vu la fonction logarithme népérien .
Question 1

2ex−4=02e^{x}-4=0

Correction

A=eln⁡(A)A=e^{\ln \left(A\right)} avec A>0A>0
2ex−4=02e^{x}-4=0 équivaut successivement à :
2ex=42e^{x}=4
ex=42e^{x}=\frac{4}{2}
ex=2e^{x}=2
ex=eln⁡(2)e^{x}=e^{\ln \left(2\right)}
x=ln⁡2x=\ln 2
Donc :
S=ln⁡2S=\ln 2

Question 2

3ex−18=03e^{x} -18=0

Correction
3ex−18=03e^{x} -18=0
3ex=183e^{x} =18
ex=183e^{x} =\frac{18}{3}
ex=6e^{x} =6
ex=eln⁡6e^{x} =e^{\ln 6}
x=ln⁡6x=\ln 6
Donc :
S=ln⁡6S=\ln 6
Question 3

e−x−6=0e^{-x}-6=0

Correction
  • A=eln⁡(A)A=e^{\ln \left(A\right)} avec A>0A>0
  • −ln⁡(A)=ln⁡(1A)-\ln \left(A\right)=\ln \left(\frac{1}{A} \right)
e−x−6=0e^{-x}-6=0 équivaut successivement à :
e−x=6e^{-x}=6
e−x=eln⁡(6)e^{-x}=e^{\ln \left(6\right)}
−x=ln⁡6-x=\ln 6
x=−ln⁡6x=-\ln 6
x=ln⁡(16)x=\ln \left(\frac{1}{6} \right)
Donc :
S=ln⁡(16)S=\ln \left(\frac{1}{6} \right)


Question 4

4ex−2−16=04e^{x-2}-16=0

Correction

A=eln⁡(A)A=e^{\ln \left(A\right)} avec A>0A>0
4ex−2−16=04e^{x-2}-16=0 équivaut successivement à :
4ex−2=164e^{x-2}=16
ex−2=164e^{x-2}=\frac{16}{4}
ex−2=4e^{x-2}=4
ex−2=eln⁡(4)e^{x-2}=e^{\ln \left(4\right)}
x−2=ln⁡(4)x-2=\ln \left(4\right)
x=ln⁡(4)+2x=\ln \left(4\right)+2
Donc :
S=ln⁡(4)+2S=\ln \left(4\right)+2

Question 5

e2x−1e2x+1=12\frac{e^{2x}-1 }{e^{2x}+1 } =\frac{1}{2}

Correction

AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C avec BB et DD différents de zéro.
e2x−1e2x+1=12\frac{e^{2x}-1 }{e^{2x}+1 } =\frac{1}{2} équivaut successivement à :
2(e2x−1)=e2x+12\left(e^{2x} -1\right)=e^{2x} +1
2e2x−2=e2x+12e^{2x}-2=e^{2x} +1
e2x=3e^{2x}=3
e2x=eln⁡(3)e^{2x}=e^{\ln \left(3\right)}
2x=ln⁡(3)2x=\ln \left(3\right)
x=ln⁡(3)2x=\frac{\ln \left(3\right)}{2}
Donc :
S=ln⁡(3)2S=\frac{\ln \left(3\right)}{2}