Savoir résoudre des équations avec les exponentielles - Exercice 2

On écrit l'équation $$e^{2x} +2e^{x} -3=0$$ sous la forme $$\left(e^{x} \right)^{2} +2e^{x} -3=0$$
On va effectuer un changement de variable. On pose $$X=e^{x}$$
Il en résulte que $$\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +2X-3=0} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $$X_{1}$$ et $$X_{2}$$ tels que
$$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ et $$X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$
$$X_{1} =-3$$ et $$X_{2} =1$$.
Or nous avons posé $$X=e^{x}$$, il en résulte que
$$e^{x} =-3$$ ou encore $$e^{x} =1$$

$$\red{\text{ Résolvons d'une part :}}$$ $$e^{x} =1$$. Il vient alors que $$e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow$$

$$x=0$$

$$\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}$$ $$e^{x} =-3$$. Or $$e^{x} >0$$ , donc l'équation $$e^{x} =-3$$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $$e^{2x} +2e^{x} -3=0$$ est

On écrit l'équation $$e^{2x} +4e^{x} -5=0$$ sous la forme $$\left(e^{x} \right)^{2} +4e^{x} -5=0$$
On va effectuer un changement de variable. On pose $$X=e^{x}$$
Il en résulte que $$\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +4X-5=0} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $$X_{1}$$ et $$X_{2}$$ tels que
$$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ et $$X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$
$$X_{1} =-5$$ et $$X_{2} =1$$.
Or nous avons posé $$X=e^{x}$$, il en résulte que
$$e^{x} =-5$$ ou encore $$e^{x} =1$$

$$\red{\text{ Résolvons d'une part :}}$$ $$e^{x} =1$$. Il vient alors que $$e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow$$

$$x=0$$

$$\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}$$ $$e^{x} =-5$$. Or $$e^{x} >0$$ , donc l'équation $$e^{x} =-5$$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $$e^{2x} +4e^{x} -5=0$$ est

Dans un premier temps, nous allons transformer l'équation $$e^{x} +7 -8e^{-x}=0$$ . Nous multiplier de part et d'autre du signe égale par $$e^{x}$$. Il vient :
$$e^{x}\times\left(e^{x} +7 -8e^{-x}\right)=e^{x}\times0$$
$$e^{x} \times e^{x} +7\times e^{x} -8e^{-x} \times e^{x} =0$$
$$e^{x+x} +7e^{x} -8e^{-x+x} =0$$
$$e^{2x} +7e^{x} -8e^{0} =0$$ . on rappelle que : $$e^{0}=1$$
$$e^{2x} +7e^{x} -8=0$$
On écrit l'équation $$e^{2x} +7e^{x} -8=0$$ sous la forme $$\left(e^{x} \right)^{2} +7e^{x} -8=0$$
On va effectuer un changement de variable. On pose $$X=e^{x}$$
Il en résulte que $$\left\{\begin{array}{c} {X^{2} +7X-8=0} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $$X_{1}$$ et $$X_{2}$$ tels que
$$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ et $$X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$
$$X_{1} =-8$$ et $$X_{2} =1$$.
Or nous avons posé $$X=e^{x}$$, il en résulte que
$$e^{x} =-8$$ ou encore $$e^{x} =1$$

$$\red{\text{ Résolvons d'une part :}}$$ $$e^{x} =1$$. Il vient alors que $$e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow$$

$$x=0$$

$$\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}$$ $$e^{x} =-8$$. Or $$e^{x} >0$$ , donc l'équation $$e^{x} =-8$$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $$e^{x} +7 -8e^{-x}=0$$ est

On écrit l'équation $$2e^{2x} -4e^{x} -16=0$$ sous la forme $$2\left(e^{x} \right)^{2} -4e^{x} -16=0$$
On va effectuer un changement de variable. On pose $$X=e^{x}$$
Il en résulte que $$\left\{\begin{array}{c} {2X^{2} -4X-16=0} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $$X_{1}$$ et $$X_{2}$$ tels que
$$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ et $$X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$
$$X_{1} =-2$$ et $$X_{2} =4$$.
Or nous avons posé $$X=e^{x}$$, il en résulte que
$$e^{x} =-2$$ ou encore $$e^{x} =4$$

$$\red{\text{ Résolvons d'une part :}}$$ $$e^{x} =4$$. Il vient alors que $$e^{x} =4\Leftrightarrow e^{x} =e^{\ln \left(4\right)} \Leftrightarrow$$

$$x=\ln \left(4\right)$$

$$\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}$$ $$e^{x} =-2$$. Or $$e^{x} >0$$ , donc l'équation $$e^{x} =-2$$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $$2e^{2x} -4e^{x} -16=0$$ est

On va simplifier l'équation, en mettant tout au même dénominateur.
$$e^{x} -1-\frac{2}{e^{x} } =0\Leftrightarrow \frac{e^{2x} -e^{x} -2}{e^{x} } =0\Leftrightarrow \frac{\left(e^{x} \right)^{2} -e^{x} -2}{e^{x} } =0$$
Comme $$e^{x} \ne 0$$ car $$e^{x} >0$$ alors $$\frac{\left(e^{x} \right)^{2} -e^{x} -2}{e^{x} } =0\Leftrightarrow \left(e^{x} \right)^{2} -e^{x} -2=0$$
On va effectuer un changement de variable. On pose $$X=e^{x}$$
Il en résulte que $$\left\{\begin{array}{c} {X^{2} -X-2} \\ {X=e^{x} } \end{array}\right.$$.
On utilise le discriminant .
Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $$X_{1}$$ et $$X_{2}$$ tels que
$$X_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ et $$X_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$
$$X_{1} =-1$$ et $$X_{2} =2$$.
Or nous avons posé $$X=e^{x}$$, il en résulte que
$$e^{x} =-1$$ ou encore $$e^{x} =2$$

$$\red{\text{ Résolvons d'une part :}}$$ $$e^{x} =2$$. Il vient alors que $$e^{x} =2\Leftrightarrow e^{x} =e^{\ln \left(2\right)} \Leftrightarrow$$

$$x=\ln \left(2\right)$$

$$\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}$$ $$e^{x} =-1$$. Or $$e^{x} >0$$ , donc l'équation $$e^{x} =-1$$ n'a pas de solution.

Finalement la solution de l'équation $$e^{x} -1-\frac{2}{e^{x} } =0$$ est