La fonction exponentielle

Pour se tester avant d'attaquer la partie se préparer aux contrôles - Exercice 2

40 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=3e−4x−7e−5xf\left(x\right)=3e^{-4x} -7e^{-5x} .

Montrer que : f(−ln⁡(1235))=35(1235)4f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=\frac{3}{5} \left(\frac{12}{35} \right)^{4}

Correction
f(−ln⁡(1235))=3e−4×(−ln⁡(1235))−7e−5×(−ln⁡(1235))f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=3e^{-4\times \left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)} -7e^{-5\times \left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)} équivaut successivement à :
f(−ln⁡(1235))=3e4ln⁡(1235)−7e5ln⁡(1235)f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=3e^{4\ln \left(\frac{12}{35} \right)} -7e^{5\ln \left(\frac{12}{35} \right)}
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
f(−ln⁡(1235))=3eln⁡((1235)4)−7eln⁡((1235)5)f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=3e^{\ln \left(\left(\frac{12}{35} \right)^{4} \right)} -7e^{^{\ln \left(\left(\frac{12}{35} \right)^{5} \right)} }
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
f(−ln⁡(1235))=3×(1235)4−7×(1235)5f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=3\times \left(\frac{12}{35} \right)^{4} -7\times \left(\frac{12}{35} \right)^{5}
f(−ln⁡(1235))=3×(1235)4−7×(1235)×(1235)4f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=3\times \left(\frac{12}{35} \right)^{4} -7\times \left(\frac{12}{35} \right)\times \left(\frac{12}{35} \right)^{4}
f(−ln⁡(1235))=(1235)4[3−7×(1235)]f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=\left(\frac{12}{35} \right)^{4} \left[3-7\times \left(\frac{12}{35} \right)\right]
f(−ln⁡(1235))=(1235)4[3−7×(127×5)]f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=\left(\frac{12}{35} \right)^{4} \left[3-7\times \left(\frac{12}{7\times 5} \right)\right]
f(−ln⁡(1235))=(1235)4[3−125]f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=\left(\frac{12}{35} \right)^{4} \left[3-\frac{12}{5} \right]
f(−ln⁡(1235))=(1235)4[3×55−125]f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=\left(\frac{12}{35} \right)^{4} \left[\frac{3\times 5}{5} -\frac{12}{5} \right]
f(−ln⁡(1235))=(1235)4[155−125]f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=\left(\frac{12}{35} \right)^{4} \left[\frac{15}{5} -\frac{12}{5} \right]
f(−ln⁡(1235))=35(1235)4f\left(-\ln \left(\frac{12}{35} \right)\right)=\frac{3}{5} \left(\frac{12}{35} \right)^{4}
Question 2

Calculer la limite de ff en +∞+\infty . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→+∞−4x=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -4x=-\infty .
On pose X=−4xX=-4x.
Ainsi : lim⁡X→−∞eX=0\lim\limits_{X\to -\infty } e^{X} =0.
Par composition :
lim⁡x→+∞e−4x=0\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-4x} =0

Avec le même raisonnement, nous montrons que lim⁡x→+∞e−5x=0\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-5x} =0
Finalement :lim⁡x→+∞3e−4x−7e−5x=0\lim\limits_{x\to +\infty }3e^{-4x} -7e^{-5x} =0
  • Si lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
  • Si lim⁡x→−∞f(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
La courbe CfC_{f} admet au voisinage de +∞+\infty une asymptote horizontale d'équation y=0y=0.
Question 3

Pour tout réel xx, montrer que ff peut s'écrire sous la forme : f(x)=e−4x(3−7e−x)f\left(x\right)=e^{-4x} \left(3-7e^{-x} \right)

Correction
f(x)=3e−4x−7e−5xf\left(x\right)=3e^{-4x} -7e^{-5x} . Nous allons décomposer e−5xe^{-5x} sous la forme e−5x=e−x×e−4xe^{-5x}=e^{-x} \times e^{-4x}, ce qui nous donne :
f(x)=3e−4x−7e−x×e−4xf\left(x\right)=3{\color{blue}e^{-4x}} -7e^{-x} \times {\color{blue}e^{-4x}} . Nous allons factoriser par e−4x{\color{blue}e^{-4x}}
f(x)=e−4x(3−7e−x)f\left(x\right)=e^{-4x} \left(3-7e^{-x} \right)
Question 4

En déduire la limite de ff en −∞-\infty .

Correction
Nous voulons calculer lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞e−4x(3−7e−x)\lim\limits_{x\to -\infty }f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to -\infty }e^{-4x} \left(3-7e^{-x} \right)
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→−∞−4x=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } -4x=+\infty .
On pose X=−4xX=-4x.
Ainsi : lim⁡X→+∞eX=+∞\lim\limits_{X\to +\infty } e^{X} =+\infty.
Par composition :
lim⁡x→−∞e−4x=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } e^{-4x} =+\infty

Avec le même raisonnement, nous montrons que lim⁡x→−∞e−x=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } e^{-x} =+\infty
Ainsi :
lim⁡x→−∞e−4x=+∞lim⁡x→−∞3−7e−x=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{-4x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 3-7e^{-x}} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par produit
lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=-\infty
Question 5

Pour tout réel xx, montrer que : f′(x)=e−4x(−12+35e−x)f'\left(x\right)=e^{-4x} \left(-12+35e^{-x} \right).

Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
    f′(x)=3×(−4)×e−4x−7×(−5)×e−5xf'\left(x\right)=3\times \left(-4\right)\times e^{-4x} -7\times \left(-5\right)\times e^{-5x}
    f′(x)=−12e−4x+35e−5xf'\left(x\right)=-12e^{-4x} +35e^{-5x}
    f′(x)=−12e−4x+35e−x×e−4xf'\left(x\right)=-12{\color{blue}e^{-4x}} +35e^{-x} \times {\color{blue}e^{-4x}} . Nous allons factoriser par e−4x{\color{blue}e^{-4x}}
    f′(x)=e−4x(−12+35e−x)f'\left(x\right)=e^{-4x} \left(-12+35e^{-x} \right)

    Question 6

    Etudier les variations de ff sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ .

    Correction
    D'après la question précédente, nous savons que : f′(x)=e−4x(−12+35e−x)f'\left(x\right)=e^{-4x} \left(-12+35e^{-x} \right)
    Pour tout réel xx, il est évident que e−4x>0e^{-4x}>0 ; donc le signe de f′f' dépend alors de −12+35e−x-12+35e^{-x} .
    −12+35e−x≥0-12+35e^{-x} \ge 0
    35e−x≥1235e^{-x} \ge 12
    e−x≥1235e^{-x} \ge \frac{12}{35}
    ln⁡(e−x)≥ln⁡(1235)\ln \left(e^{-x} \right)\ge \ln \left(\frac{12}{35} \right)
    −x≥ln⁡(1235)-x\ge \ln \left(\frac{12}{35} \right)
    x≤−ln⁡(1235)x\le -\ln \left(\frac{12}{35} \right)
    Nous dressons ci-dessous, le tableau de variation complet de ff .