Limites - La fonction exponentielle - TS

Question 1

$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5$

Correction

$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0$

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{x} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par addition}}

\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5=+\infty

Question 2

$\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)$

Correction

$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0$

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-2e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}

\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)=-\infty

Question 3

$\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2$

Correction

$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0$

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par somme}}

\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2=+\infty

Question 4

$\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3$

Correction

$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0$

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} -2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par

e^{x}

.
Cela donne :

\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-e^{2x} +2e^{x} -3}{e^{x} } \right)

\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-e^{2x} }{e^{x} } +\frac{2e^{x} }{e^{x} } +\frac{-3}{e^{x} } \right)

\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-e^{x} +2-\frac{3}{e^{x} } \right)

On rappelle que

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{e^{x} } =0

.

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} +2-\frac{3}{e^{x} } } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}

\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=-\infty

Question 5

$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1}$

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {1} \end{array}\right\}{\text{par quotient}}

\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =2

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation

y=2

au voisinage de

-\infty

.

Question 6

$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1}$

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} +2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par

e^{x}

.
Cela donne :

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(\frac{-e^{x} +2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{2e^{x} +1}{e^{x} } \right)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(\frac{-e^{x} }{e^{x} } +\frac{2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{2e^{x} }{e^{x} } +\frac{1}{e^{x} } \right)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(-1+\frac{2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(2+\frac{1}{e^{x} } \right)} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+\frac{2}{e^{x} } }{2+\frac{1}{e^{x} } }

.
Il vient alors que :

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+\frac{2}{e^{x} } } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{e^{x} } } & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par quotient}}\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+\frac{2}{e^{x} } }{2+\frac{1}{e^{x} } } =-\frac{1}{2}

Finalement :

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =-\frac{1}{2}

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation

y=-\frac{1}{2}

au voisinage de

+\infty

.

Question 7

$\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x}$

Correction

$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{e^{x} } =0$

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par

e^{x}

.
Cela donne :

\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-x+2e^{x} }{e^{x} } \right)

\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-\frac{x}{e^{x} } +\frac{2e^{x} }{e^{x} } \right)

\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-\frac{x}{e^{x} } +2\right)

On a alors :

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{x}{e^{x} } +2} & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-\frac{x}{e^{x} } +2\right)=+\infty .

Finalement :

\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} =+\infty

Question 8

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x} -1}{3x}$

Correction

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x} -1}{x} =1$

\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x} -1}{3x} =\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{3}\left(\frac{e^{x} -1}{x}\right)=\frac{1}{3} .

Question 9

$\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5$

Correction

\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5=\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+\frac{3}{e^{x} } -5

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \end{array}\right\}{\text{par somme}}

\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5=-\infty

Question 10

$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right)$

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x-2 } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}

On rencontre ici une forme indéterminée.

$\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x} =0$

Nous allons développer l'expression :

\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right) =\lim\limits_{x\to -\infty }xe^{x} -2e^{x}

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2e^{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}{\text{par somme}}

\lim\limits_{x\to -\infty }xe^{x} -2e^{x} =0

Finalement :

\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right) =0

Question 11

$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2}$

Correction

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3\frac{1}{e^{x} } -5}{2e^{x} +2}

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\frac{1}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =0

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation

y=0

au voisinage de

+\infty

.

Question 12

$\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-x^{2} +3}$

Correction

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer

\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +3=-\infty

.
On pose

X=-x^{2} +3

.
Ainsi :

\lim\limits_{X\to -\infty } 2e^{X} =0

.
Par composition :

\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-x^{2} +3} =0

Question 13

$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{\frac{x+2}{2x^{2} -3} }$

Correction

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer

\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(2-\frac{3}{x^{2} } \right)} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } }{2-\frac{3}{x^{2} } } =0

.
On pose

X=\frac{x+2}{2x^{2} -3}

.
Ainsi :

\lim\limits_{X\to 0} e^{X} =1

.
Par composition :

\lim\limits_{x\to -\infty } e^{\frac{x+2}{2x^{2} -3} } =1

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation

y=1

Question 14

$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{\frac{2}{x^{2} +x+1} }$

Correction

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x^{2} +x+1} =0

.
On pose

X=\frac{2}{x^{2} +x+1}

.
Ainsi :

\lim\limits_{X\to 0} e^{X} =1

.
Par composition :

\lim\limits_{x\to +\infty } e^{\frac{2}{x^{2} +x+1} } =1

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation

y=1

au voisinage de

+\infty

.

Question 15

$\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-e^{x}+1$

Correction

$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{e^{x} } =0$

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}

On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par

e^{x}

.
Cela donne :

\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-e^{x}+1 =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{3x-e^{x} +1}{e^{x} } \right)=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{3x}{e^{x} } +\frac{-e^{x} }{e^{x} } +\frac{1}{e^{x} } \right)= \lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{3x}{e^{x} }-1+\frac{1}{e^{x} }\right).

On a alors :

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x}{e^{x} }-1+\frac{1}{e^{x}}} & {=} & {-1} \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{3x}{e^{x} }-1+\frac{1}{e^{x} }\right)=-\infty .

Finalement :

\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-e^{x}+1 =-\infty

Limites - Exercice 1

lim⁡x→+∞2x+3ex−5\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5x→+∞lim​2x+3ex−5

lim⁡x→+∞(2x+3)(5−2ex)\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)x→+∞lim​(2x+3)(5−2ex)

lim⁡x→−∞x2−ex+2\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2x→−∞lim​x2−ex+2

lim⁡x→+∞−e2x+2ex−3\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3x→+∞lim​−e2x+2ex−3

lim⁡x→−∞−ex+22ex+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} x→−∞lim​2ex+1−ex+2​

lim⁡x→+∞−ex+22ex+1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} x→+∞lim​2ex+1−ex+2​

lim⁡x→+∞−x+2ex\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} x→+∞lim​−x+2ex

lim⁡x→0ex−13x\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x} -1}{3x} x→0lim​3xex−1​

lim⁡x→+∞−2x+3e−x−5\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5x→+∞lim​−2x+3e−x−5

lim⁡x→−∞ex(x−2)\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right) x→−∞lim​ex(x−2)

lim⁡x→+∞3e−x−52ex+2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} x→+∞lim​2ex+23e−x−5​

lim⁡x→+∞2e−x2+3\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-x^{2} +3} x→+∞lim​2e−x2+3

lim⁡x→−∞ex+22x2−3\lim\limits_{x\to -\infty } e^{\frac{x+2}{2x^{2} -3} } x→−∞lim​e2x2−3x+2​

lim⁡x→+∞e2x2+x+1\lim\limits_{x\to +\infty } e^{\frac{2}{x^{2} +x+1} } x→+∞lim​ex2+x+12​

lim⁡x→+∞3x−ex+1\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-e^{x}+1 x→+∞lim​3x−ex+1

$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5$

$\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)$

$\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2$

$\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3$

$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1}$

$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1}$

$\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x}$

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x} -1}{3x}$

$\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5$

$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right)$

$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2}$

$\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-x^{2} +3}$

$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{\frac{x+2}{2x^{2} -3} }$

$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{\frac{2}{x^{2} +x+1} }$

$\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-e^{x}+1$