Limites - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{x} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par addition}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} -2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par $$e^{x}$$.
Cela donne :
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-e^{2x} +2e^{x} -3}{e^{x} } \right)$$
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-e^{2x} }{e^{x} } +\frac{2e^{x} }{e^{x} } +\frac{-3}{e^{x} } \right)$$
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-e^{x} +2-\frac{3}{e^{x} } \right)$$
On rappelle que $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{e^{x} } =0$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} +2-\frac{3}{e^{x} } } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {1} \end{array}\right\}{\text{par quotient}}$$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$ au voisinage de $$-\infty$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} +2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par $$e^{x}$$.
Cela donne :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(\frac{-e^{x} +2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{2e^{x} +1}{e^{x} } \right)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(\frac{-e^{x} }{e^{x} } +\frac{2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{2e^{x} }{e^{x} } +\frac{1}{e^{x} } \right)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(-1+\frac{2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(2+\frac{1}{e^{x} } \right)} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+\frac{2}{e^{x} } }{2+\frac{1}{e^{x} } }$$ .
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+\frac{2}{e^{x} } } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{e^{x} } } & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par quotient}}\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+\frac{2}{e^{x} } }{2+\frac{1}{e^{x} } } =-\frac{1}{2}$$
Finalement :
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=-\frac{1}{2}$$ au voisinage de $$+\infty$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par $$e^{x}$$.
Cela donne :
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-x+2e^{x} }{e^{x} } \right)$$
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-\frac{x}{e^{x} } +\frac{2e^{x} }{e^{x} } \right)$$
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-\frac{x}{e^{x} } +2\right)$$
On a alors :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{x}{e^{x} } +2} & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-\frac{x}{e^{x} } +2\right)=+\infty .$$
Finalement :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x-2 } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée. Nous allons développer l'expression :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right) =\lim\limits_{x\to -\infty }xe^{x} -2e^{x}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2e^{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}{\text{par somme}}$$
Finalement :

$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3\frac{1}{e^{x} } -5}{2e^{x} +2}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\frac{1}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}$$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$ au voisinage de $$+\infty$$.

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +3=-\infty$$.
On pose $$X=-x^{2} +3$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to -\infty } 2e^{X} =0$$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(2-\frac{3}{x^{2} } \right)} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } }{2-\frac{3}{x^{2} } } =0$$.
On pose $$X=\frac{x+2}{2x^{2} -3}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0} e^{X} =1$$.
Par composition :
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=1$$

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x^{2} +x+1} =0$$.
On pose $$X=\frac{2}{x^{2} +x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0} e^{X} =1$$.
Par composition :
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=1$$ au voisinage de $$+\infty$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, factorisons par $$e^{x}$$.
Cela donne :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-e^{x}+1 =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{3x-e^{x} +1}{e^{x} } \right)=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{3x}{e^{x} } +\frac{-e^{x} }{e^{x} } +\frac{1}{e^{x} } \right)= \lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{3x}{e^{x} }-1+\frac{1}{e^{x} }\right).$$
On a alors :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x}{e^{x} }-1+\frac{1}{e^{x}}} & {=} & {-1} \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{3x}{e^{x} }-1+\frac{1}{e^{x} }\right)=-\infty .$$
Finalement :