Exponentielle et suites - Exercice 1

$$f\left(x\right)=3-e^{-x}$$ peut également s'écrire $$f\left(x\right)=3-\frac{1}{e^{x}}$$.
$$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{1}{e^{x}}} & {=} & {0} \end{array}\right\}{\text{par addition}}$$ . Ici, il existe une asymptote horizontale d'équation $$y=3$$ au voisinage de $$+\infty$$.
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -\frac{1}{e^{x}}} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}{\text{par addition}}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=e^{-x}$$
Or pour tout réel $$x$$, on sait que $$e^{-x} >0$$. Ainsi :

Pour tout réel $$x$$, on a : $$f\left(x\right)=3-e^{-x}$$
Ainsi :
$$f\left(x\right)-3=-e^{-x}$$.
Or pour tout réel $$x$$, $$-e^{-x} <0$$
Il en résulte que $$f\left(x\right)-3<0$$. D'où : $$f\left(x\right)<3$$ ce qui nous permet de dire que $$f\left(x\right)\le 3$$.

$$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$u_{0+1} =3-e^{u_{0}}$$ ce qui donne $$u_{1} =3-e^{0}$$ ainsi :
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$u_{1+1} =3-e^{u_{1}}$$ ce qui donne :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le u_{n} \le 3$$
Etape d'initialisation
On a vu précédemment que $$u_{0}=0$$. Donc on a bien : $$0 \le u_{0} \le 3$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$0\le u_{k} \le 3$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$0\le u_{k+1} \le 3$$
Par hypothèse de récurrence,
$$0\le u_{k} \le 3$$ , or $$f$$ une fonction strictement croissante sur $$\left[-\infty;+\infty \right[$$ , ainsi :
$$f\left(0\right)\le f\left(u_{k}\right) \le f\left(3\right)$$
Puisque $$f\left(0\right)=2$$ et $$f\left(3\right)=3-e^{-3}$$
Il vient alors que :
$$2\le f\left(u_{k}\right) \le 3-e^{-3}$$ . Or $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$. Ce qui donne :
$$2\le u_{k+1} \le 3-e^{-3}$$
$$0 \le2\le u_{k+1} \le 3-e^{-3} \le 3$$
Finalement :
$$0\le u_{k+1} \le 3$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$ :

Une suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante si et seulement : $$u_{n+1}-u_{n}>0$$ autrement dit $$u_{n+1}>u_{n}$$.
D'après la question $$4$$, on sait que : $$u_{0} =0$$ et $$u_{1} =2$$
On remarque que $$u_{1}> u_{0}$$.
On conjecture que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n+1}>u_{n}$$
Etape d'initialisation
On a vu précédemment que $$u_{1}>u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$u_{k+1} >u_{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$u_{k+2} >u_{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence,
$$u_{k+1} >u_{k}$$ , or $$f$$ une fonction strictement croissante sur $$\left[-\infty;+\infty \right[$$ , ainsi :
$$f\left(u_{k+1} \right)> f\left(u_{k} \right)$$ . Or $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$. Ce qui donne :
$$u_{k+2} >u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.

La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante et majorée par $$3$$ donc la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente vers un réel fini que l'on note $$l$$.