Exercices types : 4^ème partie - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x+2 } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x-4}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par produit
Finalement :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x+2 } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x-4}} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ Il s'agit d'une forme indéterminée .
Nous allons donc développer l'expression de $$g$$ et la transformer afin de relever la forme indéterminée.
$$g\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{x-4} -2$$
$$g\left(x\right)=xe^{x-4} +2e^{x-4} -2$$
$$g\left(x\right)=xe^{x} \times e^{-4} +2e^{x-4} -2$$ . On rappelle que $$e^{a} e^{b} =e^{a+b}$$ .
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x} =0$$ donc $$\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x}\times e^{-4} =0$$
D'où :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x} \times e^{-4} } & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x-4}} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ par somme
Finalement :

Soit $$g\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{x-4} -2$$ tel que $$g$$ soit dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ .
Ici on reconnait la forme : $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x+2$$ ; $$v\left(x\right)=e^{x-4}$$ et $$w\left(x\right)=-2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ ; $$v'\left(x\right)=e^{x-4}$$ et $$w'\left(x\right)=0$$.
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=1\times e^{x-4} +\left(x+2\right)e^{x-4}$$
$$g'\left(x\right)=e^{x-4} +\left(x+2\right)e^{x-4}$$
$$g'\left(x\right)=e^{x-4} \left(1+x+2\right)$$

Pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;+\infty \right[$$ , on vérifie aisément $$e^{x-4}>0$$ . Le signe de $$g'$$ dépend alors de $$3+x$$. Il vient que :
$$x+3\ge 0\Leftrightarrow x\ge -3$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$g'$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-3$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$g\left(-3\right)=\left(-3+2\right)e^{-3-4} -2$$ d'où :

$$g\left(-3\right)=-e^{-7} -2 \approx-2,001$$

Nous allons faire apparaitre le zéro dans le tableau de variation. On a donc :

• Sur $$\left]-\infty ;-3\right]$$ , la fonction $$g$$ est continue et admet $$-e^{-7} -2 \approx-2,001$$ comme minimum.
  La fonction $$g$$ est strictement négative.
  Donc l'équation $$g\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[-3;+\infty\right[$$ , la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$g\left(-3\right)=-e^{-7} -2 \approx-2,001$$ et $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{g\left(x\right)} = +\infty$$
  Or $$0 \in \left[-e^{-7} -2;+\infty\right[$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-3;+\infty\right[$$ tel que $$g\left(x\right) = 0$$.
  

Sur $$\left]-\infty ;-3\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$3$$ comme minimum. La fonction $$g$$ est strictement négative.
Sur $$\left[-3;+\infty\right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante et $$g(\alpha) = 0$$
Donc $$g(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left]-\infty;\alpha\right]$$ et $$g(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g\left(3,069\right)\approx-0,002$$ et $$g(3,07)\approx0,00038$$
Or $$0 \in \left[-0,002;0,00038\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$3,069\le\alpha\le3,07$$

$$f\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^{2} -x^{2} e^{x-4} =0\Leftrightarrow x^{2} \left(1-e^{x-4} \right)=0$$ .
Il s'agit donc d'une équation produit nul : $$x^{2} \left(1-e^{x-4} \right)=0$$
Ainsi : $$x^{2} =0$$ ou $$1-e^{x-4}=0$$ .
D'une part : $$x^{2} =0\Leftrightarrow$$
D'autre part : $$1-e^{x-4} =0\Leftrightarrow -e^{x-4} =-1\Leftrightarrow e^{x-4} =1\Leftrightarrow e^{x-4} =e^{0} \Leftrightarrow x-4=0\Leftrightarrow$$
L’équation a deux solutions :

L'énoncé, nous indique que $$f'\left(x\right)=-xg\left(x\right)$$ . Nous connaissons le signe de $$g$$ obtenue à la question $$5$$ que l'on rappelle ci-dessous.
Donc le signe de $$f'$$ dépend alors de $$-x$$.
Il vient alors que :

$$f\left(0\right)=0^{2} -0^{2}\times e^{0-4}$$ d'où : $$f\left(0\right)=0$$

D'après le tableau de variation de la question $$8$$, le maximum est atteint pour la valeur $$x=\alpha$$. Il nous faut donc calculer $$f\left(\alpha \right)$$ .
Nous savons tout d'abord , d'après la question $$4$$ que $$g\left(\alpha\right)=0$$ . Ainsi :
$$g\left(\alpha \right)=0\Leftrightarrow \left(\alpha +2\right)e^{\alpha -4} -2=0\Leftrightarrow \left(\alpha +2\right)e^{\alpha -4} =2\Leftrightarrow$$
De plus :
$$f\left(\alpha\right)=\alpha^{2} -\alpha^{2} {\color{blue}e^{\alpha-4}}$$ or $${\color{blue}e^{\alpha-4}=\frac{2}{\alpha +2}}$$ . Nous remplaçons, cela donne :
$$f\left(\alpha\right)=\alpha^{2} -\alpha^{2}\times\frac{2}{\alpha +2}$$
$$f\left(\alpha \right)=\alpha ^{2} -\frac{2\alpha ^{2} }{\alpha +2}$$
$$f\left(\alpha \right)=\frac{\alpha ^{2} \left(\alpha +2\right)}{\alpha +2} -\frac{2\alpha ^{2} }{\alpha +2}$$ . Nous avons tout mis au même dénominateur .
$$f\left(\alpha \right)=\frac{\alpha ^{2} \left(\alpha +2\right)-2\alpha ^{2} }{\alpha +2}$$
$$f\left(\alpha \right)=\frac{\alpha ^{3} +2\alpha ^{2} -2\alpha ^{2} }{\alpha +2}$$

Nous allons introduire une fonction $$d$$ tel que : $$d\left(x\right)=x^{2} -f\left(x\right)$$
Ainsi :
$$d\left(x\right)=x^{2} -f\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$d\left(x\right)=x^{2} -\left(x^{2} -x^{2} e^{x-4} \right)$$
$$d\left(x\right)=x^{2} -x^{2} +x^{2} e^{x-4}$$

Cette fonction produit de deux fonctions positives est positive et ne s’annule que pour $$x=0$$. Géométriquement ceci montre que la parabole $$\mathscr{P}$$ est au dessus de la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ , le seul point commun étant l’origine.

D'après la question précédente, nous savons que sur l’intervalle $$\left[0; 4\right]$$ la courbe $$\mathscr{P}$$ est au dessus de la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$, donc l’aire de la surface limitée par la courbe $$\mathscr{P}$$, la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ et les droites d’équation $$x=0$$ et $$x=4$$, est en unité d’aire égale à l’intégrale :
$$A=\int _{0}^{4}\left(x^{2} -f\left(x\right)\right) dx$$
$$A=\int _{0}^{4}\left(\frac{1}{3} x^{3} -F\left(x\right)\right) dx$$
$$A=\int _{0}^{4}\left(\frac{1}{3} x^{3} -\left(\frac{1}{3} x^{3} -\left(x^{2} -2x+2\right)e^{x-4} \right)\right) dx$$
$$A=\int _{0}^{4}\left(\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{3} x^{3} +\left(x^{2} -2x+2\right)e^{x-4} \right) dx$$
$$A=\int _{0}^{4}\left(\left(x^{2} -2x+2\right)e^{x-4} \right) dx$$
$$A=\left[\left(4^{2} -2\times 4+2\right)e^{4-4} -\left(0^{2} -2\times 0+2\right)e^{0-4} \right]$$
$$A=\left[10e^{0} -2e^{-4} \right]$$