Exercices types : 3^ème partie - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0 ; +\infty \right[$$. Commençons par calculer la dérivée de la fonction $$u$$.
Comme $$u\left(x\right)=-e^{2-\frac{x}{10} }$$ alors $$u'\left(x\right)=\frac{-1}{10}\times\left(-e^{2-\frac{x}{10} }\right)$$ c'est à dire $$u'\left(x\right)=\frac{1}{10}e^{2-\frac{x}{10}}$$.
Maintenant nous allons calculer la dérivée de $$f$$.
Nous savons que $$f\left(x\right)=10e^{u\left(x\right)}$$ ainsi $$f'\left(x\right)=10\times u'\left(x\right)\times e^{u\left(x\right)}$$
Soit :
$$f'\left(x\right)=10\times \frac{1}{10}e^{2-\frac{x}{10}}\times e^{u\left(x\right)}$$
$$f'\left(x\right)=e^{2-\frac{x}{10}}\times e^{u\left(x\right)}$$. Or : $$u\left(x\right)=-e^{2-\frac{x}{10} }$$
Finalement :

De plus, pour tout $$x\in\left[0 ; +\infty \right[$$ , comme $$e^{2-\frac{x}{10} }>0$$ alors $$-e^{2-\frac{x}{10} }<0$$ . Ainsi : $$u\left(x\right)<0$$ et de ce fait $$-u\left(x\right)>0$$. Enfin , $$e^{u\left(x\right)}>0$$.
Il en résulte donc que pour tout $$x\in\left[0 ; +\infty \right[$$ , $$f'$$ est strictement positive .
La fonction $$f$$ est alors strictement croissante sur $$\left[0 ; +\infty \right[$$ .

$$f\left(20\right)=10e^{-e^{2-\frac{20}{10} } }$$
$$f\left(20\right)=10e^{-e^{2-2} }$$
$$f\left(20\right)=10e^{-e^{0} }$$

$$f\left(20\right)\approx 3,678$$
Après $$20$$ jours de repousse, la taille de la queue du lézard sera environ de $$3,7$$ cm.

Nous allons calculer la limite en $$+\infty$$.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2-\frac{x}{10} }$$.
Or : $$\lim\limits_{x\to +\infty } 2-\frac{x}{10}=-\infty$$
On pose $$X=2-\frac{x}{10}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to -\infty } -e^{X} =0$$.
Par composition :
Maintenant, il nous reste à calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to +\infty } 10e^{-e^{2-\frac{x}{10} } }$$
Nous venons de voir que $$\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2-\frac{x}{10} } =0$$ .
Nous posons $$X=-e^{2-\frac{x}{10} }$$
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0 } 10e^{X} =10$$.
Par composition :

La fonction est strictement croissante et admet $$10$$ comme valeur maximale : la taille de la repousse ne sera jamais égale à $$11$$ cm.

D'après l'énoncé, nous savons que : $$f''\left(x\right)=\frac{1}{10} u\left(x\right)e^{u\left(x\right)} \left(1+u\left(x\right)\right)$$.
Pour tout $$x\in\left[0 ; +\infty \right[$$, nous vérifions aisément que $$\frac{1}{10}>0$$ et $$e^{u\left(x\right)}>0$$.
Il en résulte que le signe de $$f''$$ dépend alors de $$u\left(x\right)\left(1+u\left(x\right)\right)$$.
D'après la question $$1$$, nous avons vu que $$u\left(x\right)<0$$.
Nous allons maintenant déterminer sur quel intervalle $$1+u\left(x\right)\ge0$$ et ensuite nous allons dresser le tableau de signe de $$f''$$.
$$1+u\left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow u\left(x\right)\ge -1\Leftrightarrow -e^{2-\frac{x}{10} } \ge -1\Leftrightarrow e^{2-\frac{x}{10} } \le 1\Leftrightarrow e^{2-\frac{x}{10} } \le e^{0}$$
Ainsi :
$$2-\frac{x}{10} \le 0\Leftrightarrow -\frac{x}{10} \le -2\Leftrightarrow x\ge 20$$
Finalement :
$$f''\left(x\right)>0$$ sur $$\left[0; 20\right]$$ et $$f''\left(x\right)<0$$ sur $$\left[20 ; +\infty\right[$$. $$f'$$ est donc croissante sur $$\left[0; 20\right]$$ et décroissante sur $$\left[20 ; +\infty\right[$$.
Nous en déduisons le tableau de variation ci-dessous :

D’après le résultat précédent la vitesse est maximale pour $$x=20$$ : la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de $$20$$ jours.