Exercices types : 2^ème partie - Exercice 3

Pour tout réel $$x>0$$, on a :
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} -e^{x} \right)$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} \left(\frac{e^{2x} -e^{x} }{e^{2x} } \right)\right)$$
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} \left(\frac{e^{2x} }{e^{2x} } -\frac{e^{x} }{e^{2x} } \right)\right)$$
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} \left(1-e^{x-2x} \right)\right)$$
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} \left(1-e^{-x} \right)\right)$$
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} \right)+\ln \left(1-e^{-x} \right)$$

Pour tout réel $$x>0$$, on a :
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} -e^{x} \right)$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{x} \left(\frac{e^{2x} -e^{x} }{e^{x} } \right)\right)$$
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{x} \left(\frac{e^{2x} }{e^{x} } -\frac{e^{x} }{e^{x} } \right)\right)$$
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{x} \left(e^{2x-x} -1\right)\right)$$
$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{x} \left(e^{x} -1\right)\right)$$$$f\left(x\right)=\ln \left(e^{x} \right)+\ln \left(e^{x} -1\right)$$

Nous allons utiliser la forme $$f\left(x\right)=x+\ln \left(e^{x} -1\right)$$ afin de déterminer la limite $$f$$ en $$+\infty$$.
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} -1=+\infty$$.
On pose $$X=e^{x} -1$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to +\infty } \ln X =+\infty$$.
Par composition :
Finalement :
Autrement dit : $$\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =+\infty$$

Nous allons utiliser la forme $$f\left(x\right)=2x+\ln \left(1-e^{-x} \right)$$ afin de déterminer la limite $$f$$ en $$0$$.
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to 0 } 1-e^{-x}=0$$.
On pose $$X=1-e^{-x}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0 } \ln X =-\infty$$.
Par composition :
Finalement :
$$\lim\limits_{x\to 0 } f\left(x\right) =-\infty$$
Interprétation graphique : la courbe représentative de la courbe $$f$$ admet une asymptote verticale d'équation $$x=0$$.

Il nous faut ici étudier le signe de $$f\left(x\right)-x$$.
Nous allons utiliser la forme $$f\left(x\right)=x+\ln \left(e^{x} -1\right)$$
Il vient alors que :
$$f\left(x\right)-x=x+\ln \left(e^{x} -1\right)-x$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)-x=\ln \left(e^{x} -1\right)$$
Etudions maintenant le signe de $$\ln \left(e^{x} -1\right)$$.
$$\ln \left(e^{x} -1\right)\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(e^{x} -1\right)\ge \ln 1$$
$$e^{x} -1\ge 1$$
$$e^{x} \ge 2$$
$$x\ge \ln \left(2\right)$$.
Cela signifie donc que :

• si $$x\in\left]0;\ln \left(2\right)\right]$$, nous avons $$f\left(x\right)-x\le0$$ et donc $$f\left(x\right)\le x$$. Cela se traduit par le fait que lorsque $$x\in\left]0;\ln \left(2\right)\right]$$ alors la courbe représentative de la courbe $$f$$ est situé en dessous de la droite d’équation $$y = x$$.
• si $$x\in\left[\ln \left(2\right);+\infty \right[$$, nous avons $$f\left(x\right)-x\ge0$$ et donc $$f\left(x\right)\ge x$$. Cela se traduit par le fait que lorsque $$x\in\left[\ln \left(2\right);+\infty \right[$$ alors la courbe représentative de la courbe $$f$$ est situé au-dessus de la droite d’équation $$y = x$$.

Nous allons utiliser la forme $$f\left(x\right)=\ln \left(e^{2x} -e^{x} \right)$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
$$f'\left(x\right)=\frac{2e^{2x} -e^{x} }{e^{2x} -e^{x} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(2e^{x} -1\right)}{e^{2x} -e^{x} }$$
Pour tout réel $$x>0$$, on vérifie aisément que $$e^{x}>0$$ et $$e^{2x} -e^{x}>0$$. En effet , $$e^{2x} -e^{x}>0$$ car sinon $$\ln \left(e^{2x} -e^{x} \right)$$ ne serait pas définie.
Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ dépend de $$2e^{x} -1$$.
Comme $$x>0$$, nous avons alors : $$x>0\Leftrightarrow e^{x} >e^{0}\Leftrightarrow e^{x} >1\Leftrightarrow 2e^{x} >2\Leftrightarrow 2e^{x} -1>1$$
Il en résulte donc que pour tout réel $$x>0$$, on a : $$f'\left(x\right)>0$$ et de ce fait la fonction $$f$$ est strictement croissante sur $$\left]0;+\infty \right[$$.