Exercices types : 2^ème partie - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x-1$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$.
On note $$w\left(x\right)=-x-1$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=-1$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times e^{2x} +\left(x-1\right)\times \left(2e^{2x} \right)-1$$
$$f'\left(x\right)=e^{2x} +2xe^{2x}-2e^{2x}-1$$
$$f'\left(x\right)=-e^{2x} +2xe^{2x}-1$$
D'où : .

Nous rappelons que : $$f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-1+2x\right)-1$$
D'une part :
$$f'\left(0\right)=e^{2\times 0} \left(-1+2\times 0\right)-1$$ donc :
D'autre part :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{2x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}$$ : $$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{2x} \left(-1+2x\right)=+\infty$$
Finalement :

Nous rappelons que : $$f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-1+2x\right)-1$$
$$f'$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=e^{2x}$$ et $$v\left(x\right)=-1+2x$$.
On note $$w\left(x\right)=-1$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=2e^{2x}$$ et $$v'\left(x\right)=2$$, enfin $$w'\left(x\right)=0$$
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=2e^{2x}\times \left(-1+2x \right)+2e^{2x}$$
$$f''\left(x\right)=-2e^{2x}+4xe^{2x}+2e^{2x}$$
Il en résulte donc que :
Pour tout $$x$$ appartenant à $$\left[0;+\infty \right[$$ , on vérifie aisément que :

$$4x\ge 0$$

$$e^{2x}>0$$

Il en résulte donc que $$f''\left(x\right)\ge 0$$ pour tout réel $$x$$ appartenant à $$\left[0;+\infty \right[$$ et de ce fait $$f'$$ est strictement croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
On dresse ci-dessous le tableau de variation de $$f'$$.

On reprend le tableau de variation fait à la question $$3$$. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.
Sur $$\left[0;+\infty \right[$$, la fonction $$f'$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$f'\left(0\right)=-2$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } f'\left(x\right)=+\infty$$ . Or $$0\in \left[-2 ;+\infty \right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$ tel que $$f'\left(x\right)=0$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f'\left(0,63\right)\approx -0,083$$ et $$f'\left(0,64\right)\approx 0,007$$ . Or $$0\in \left]-0,083;0,007\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left[0;+\infty\right[$$, la fonction $$f''$$ est continue et strictement croissante et $$f'(\alpha) = 0$$
Donc $$f'\left(x\right)\le0$$ pour tout $$x\in\left[0;\alpha\right]$$ et $$f'\left(x\right)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :

D'après la question $$5$$, nous connaissons le signe de $$f'$$ donc nous aurons les variations de $$f$$.
Nous dressons le tableau de variation ci-dessous :
De plus : $$f\left(0\right)=\left(0-1\right)e^{2\times 0} -0-1=-2$$
Comme la fonction $$f$$ est strictement décroissante sur $$\left[0;\alpha\right]$$ et que $$f\left(0\right)=-2<0$$, il en résulte donc que sur l'intervalle $$\left[0;\alpha\right]$$ la fonction $$f$$ est strictement négative. Ainsi :

Pour tout réel $$x\in\left[0;\alpha\right]$$ on a : $$f\left(x\right)<0$$

$$f\left(2\right)=\left(2-1\right)e^{2\times 2} -2-1$$
$$f\left(2\right)=e^{4}-3\approx51,59$$ ainsi $$f\left(2\right)>0$$.

Nous savons déjà, grâce à la question $$6$$ que pour tout réel $$x\in\left[0;\alpha\right]$$ on a : $$f\left(x\right)<0$$
Sur $$\left[\alpha;+\infty\right[$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$f\left(\alpha\right)<0$$ et $$f\left(2\right)=e^{4}-3>0$$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$a$$ dans l'intervalle $$\left[0;2\right]$$ tel que $$f\left(x\right)=0$$.
De plus, $$f\left(2\right)=e^{4}-3>0$$ et $$f$$ est strictement croissante sur $$\left[2;+\infty\right]$$ donc l’équation $$f\left(x\right)=0$$ n’a pas de solution dans l’intervalle $$\left[2;+\infty\right]$$. Comme $$f\left(x\right)<0$$ pour tout réel $$x\in\left[0;\alpha\right]$$, l’équation $$f\left(x\right)=0$$ n’a pas de solution dans $$\left[0;\alpha\right]$$. On peut donc dire que l’équation $$f\left(x\right)=0$$ admet une unique solution dans l’intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ et que cette solution appartient à l’intervalle $$\left[\alpha;2\right]$$; on l’appelle $$a$$. En utilisant la calculatrice, on trouve $$a\approx1,20$$.