Exercices types : 2^ème partie - Exercice 1

$$g$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
On a : $$g'\left(x\right)=e^{x} -1$$
Résolvons l'inéquation :
$$e^{x}-1 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$e^{x} \ge 1$$
$$e^{x} \ge e^{0}$$
$$x \ge 0$$
Cela signifie que $$e^{x}-1 \ge 0$$ lorsque $$x \ge 0$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :

On remarque que :
$$g\left(0\right)=e^{0} -0-1=0$$
On indique cela dans le tableau de variation ci-dessous :
Ainsi la fonction $$g$$ admet un minimum qui vaut $$0$$ lorsque $$x=0$$. La fonction $$g$$ est donc positive.
Ainsi, pour tout $$x$$ de l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a : .

On a vu à la question $$2$$, que pour tout $$x$$ de l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a : $$g\left(x\right)\ge 0$$
Ainsi :
$$e^{x} -x-1\ge 0$$ donc $$e^{x} -x\ge 1$$
D'où : $$e^{x} -x\ge 1>0$$ . Ce qui permet de dire que tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a :

Dans l'exercice, on nous indique que la fonction $$f$$ est strictement croissante sur l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$
Calculons $$f\left(0\right)$$ et $$f\left(1\right)$$.
$$f\left(0\right)=\frac{e^{0} -1}{e^{0} -0}$$ ce qui donne :
$$f\left(1\right)=\frac{e^{1} -1}{e^{1} -1}$$ ce qui donne :
Nous dressons le tableau de variation de $$f$$ sur l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$. Il vient alors que :
Il en résulte donc que pour tout $$x$$ appartenant à $$\left[0;1 \right]$$, on a $$f\left(x\right)\in \left[0;1\right]$$

$$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1}{e^{x} -x}-x$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1}{e^{x} -x}-\frac{x\left(e^{x} -x\right)}{e^{x} -x}$$ . Nous avons tout mis au même dénominateur :
$$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1-x\left(e^{x} -x\right)}{e^{x} -x}$$
$$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1-xe^{x}+x^{2}}{e^{x} -x}$$
Maintenant développons l'expression : $$\left(1-x\right)g\left(x\right)$$
$$\left(1-x\right)g\left(x\right)=\left(1-x\right)\left(e^{x} -x-1\right)$$ équivaut successivement à :
$$\left(1-x\right)g\left(x\right)=e^{x} -x-1-xe^{x} +x^{2}+x$$
$$\left(1-x\right)g\left(x\right)=e^{x}-1-xe^{x} +x^{2}$$
Comme $$f\left(x\right)-x=\frac{e^{x} -1-xe^{x}+x^{2}}{e^{x} -x}$$ et que $$\left(1-x\right)g\left(x\right)=e^{x}-1-xe^{x} +x^{2}$$, il vient alors que :

D'après la question précédente, on sait que : $$f\left(x\right)-x=\frac{\left(1-x\right)g\left(x\right)}{e^{x} -x}$$
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$, nous savons que :

d'après la question $$3$$ : $$e^{x} -x>0$$

d'après la question $$2$$ : $$g\left(x\right)\ge0$$

Il en résulte donc que $$f\left(x\right)-x=\frac{\left(1-x\right)g\left(x\right)}{e^{x} -x}$$ est alors du signe de $$1-x$$.
Résolvons : $$1-x\ge 0$$ équivalent à $$x\le 1$$.
Il en résulte donc que :

$$f\left(x\right)-x\ge 0$$ lorsque $$x\le 1$$

$$f\left(x\right)-x\le 0$$ lorsque $$x\ge 1$$

Traduisons toutes ces données dans un tableau de signe pour $$f\left(x\right)-x$$.
Il en résulte que pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$, on a :
$$f\left(x\right)-x\ge 0$$ donc que $$f\left(x\right)\ge x$$.
Cela signifie que pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;1 \right]$$, la courbe $$C_{f}$$ est au-dessus de la droite $$\left(D\right)$$.

Commençons, tout d’abord, par calculer $$u_{1}$$.
$$u_{0+1} =f\left(u_{0}\right)$$ ou encore $$u_{1} =f\left(\frac{1}{2}\right)$$ Ainsi : $$u_{1} =\frac{e^{\frac{1}{2}} -1}{e^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2}}\approx0,56$$.
Raisonnons par récurrence.
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :\frac{1}{2}\le u_{n}\le u_{n+1}\le 1$$
Etape d'initialisation
On a vu précédemment que $$u_{1} =\frac{e^{\frac{1}{2}} -1}{e^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2}}\approx0,56$$.
On remarque que $$\frac{1}{2}\le u_{0}\le u_{1}\le 1$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$\frac{1}{2}\le u_{k}\le u_{k+1}\le 1$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$\frac{1}{2}\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le 1$$.
Par hypothèse de récurrence,
$$\frac{1}{2}\le u_{k}\le u_{k+1}\le 1$$ , or $$f$$ est une fonction croissante sur $$\left[0;1 \right]$$ , ainsi :
$$f\left(\frac{1}{2} \right)\le f\left(u_{k} \right)\le f\left(u_{k+1} \right)\le f\left(1 \right)$$ . Comme $$u_{k+1} =f\left(u_{k}\right)$$ alors : $$f\left(u_{k+1} \right)=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
$$f\left(\frac{1}{2} \right)\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le f\left(1 \right)$$ . Or : $$f\left(1\right)=1$$ et $$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{e^{\frac{1}{2}} -1}{e^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2}}\approx0,56$$.
D'où :
$$\frac{1}{2}\le \frac{e^{\frac{1}{2}} -1}{e^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2}}\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le 1$$
Il en résulte donc que :
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$ : $$\frac{1}{2}\le u_{n}\le u_{n+1}\le 1$$.

On a vu , à la question $$7$$, que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$\frac{1}{2}\le u_{n}\le u_{n+1}\le 1$$.
Cela signifie que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est majorée par $$1$$ et que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante car $$u_{n}\le u_{n+1}$$.
Il en résulte donc que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ admette une limite finie que l'on note $$l$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =l$$ et par unicité de la limite on a donc : $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n+1} =l$$
Or : $$u_{n+1} =f\left(u_{n}\right)$$
D'où : $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } f\left(u_{n}\right)$$. Or $$f$$ est une fonction continue et par passage à la limite, on a :
$$f\left(l\right)=l$$ . Il faut maintenant résoudre cette équation :
$$f\left(l\right)-l=0$$ . Or d'après la question $$5$$, on a : $$f\left(x\right)-x=\frac{\left(1-x\right)g\left(x\right)}{e^{x} -x}$$. Il en résulte que :
$$\frac{\left(1-l\right)g\left(l\right)}{e^{l} -l}=0$$ . Or , nous savons d'après la question $$6$$ que $$g\left(l\right)\ge0$$ et $$e^{l} -l>0$$ ce qui implique que :
$$1-l=0$$
Ainsi :
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ converge vers le réel $$l=1$$.