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La fonction exponentielle
Exercices types : 1
ère
partie - Exercice 6
10 min
15
On considère la fonction
f
f
f
définie sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty ;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
par
f
(
x
)
=
2
e
x
+
a
x
+
b
f\left(x\right)=2e^{x} +ax+b
f
(
x
)
=
2
e
x
+
a
x
+
b
.
On note
(
C
)
\left(C\right)
(
C
)
sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
Question 1
Déterminer les réels
a
a
a
et
b
b
b
pour que les deux conditions suivantes soient réalisées
la courbe
(
C
)
\left(C\right)
(
C
)
passe par l'origine
O
O
O
la tangente à la courbe
(
C
)
\left(C\right)
(
C
)
en
O
O
O
a pour coefficient directeur
3
3
3
Correction
Avec l'information
"la courbe
(
C
)
\left(C\right)
(
C
)
passe par l'origine
O
O
O
"
, on en déduit que :
f
(
0
)
=
0
f\left(0\right)=0
f
(
0
)
=
0
Avec l'information
"la tangente à la courbe
(
C
)
\left(C\right)
(
C
)
en
O
O
O
a pour coefficient directeur
O
O
O
"
, on en déduit que :
f
′
(
0
)
=
3
f'\left(0\right)=3
f
′
(
0
)
=
3
Commençons par calculer la dérivée de la fonction
f
f
f
.
f
f
f
est dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty ;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
.
Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
2
e
x
+
a
f'\left(x\right)=2e^{x} +a
f
′
(
x
)
=
2
e
x
+
a
.
Ainsi :
f
(
0
)
=
0
⇔
2
e
0
+
a
×
0
+
b
=
0
⇔
2
+
b
=
0
⇔
f\left(0\right)=0\Leftrightarrow 2e^{0} +a\times 0+b=0\Leftrightarrow 2+b=0\Leftrightarrow
f
(
0
)
=
0
⇔
2
e
0
+
a
×
0
+
b
=
0
⇔
2
+
b
=
0
⇔
b
=
−
2
b=-2
b
=
−
2
f
′
(
0
)
=
3
⇔
2
e
0
+
a
=
3
⇔
2
+
a
=
3
⇔
f'\left(0\right)=3\Leftrightarrow 2e^{0} +a=3\Leftrightarrow 2+a=3\Leftrightarrow
f
′
(
0
)
=
3
⇔
2
e
0
+
a
=
3
⇔
2
+
a
=
3
⇔
a
=
1
a=1
a
=
1
On peut conclure que
f
(
x
)
=
2
e
x
+
a
x
+
b
f\left(x\right)=2e^{x} +ax+b
f
(
x
)
=
2
e
x
+
a
x
+
b
s'écrit
f
(
x
)
=
2
e
x
+
x
−
2
f\left(x\right)=2e^{x} +x-2
f
(
x
)
=
2
e
x
+
x
−
2
.
Question 2
Déterminer l'équation de la tangente
T
T
T
à la courbe
Γ
\Gamma
Γ
, au point d'abscisse
0
0
0
, de la fonction
g
g
g
définie sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty ;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
par
g
(
x
)
=
2
e
x
+
x
−
2
g\left(x\right)=2e^{x} +x-2
g
(
x
)
=
2
e
x
+
x
−
2
.
Correction
La formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse
a
a
a
est donnée par
y
=
g
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
g
(
a
)
.
y=g'\left(a\right)\left(x-a\right)+g\left(a\right).
y
=
g
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
g
(
a
)
.
Dans cette exercice,
a
=
0
a=0
a
=
0
.
On a alors
y
=
g
′
(
0
)
(
x
−
0
)
+
g
(
0
)
y=g'\left(0\right)\left(x-0\right)+g\left(0\right)
y
=
g
′
(
0
)
(
x
−
0
)
+
g
(
0
)
g
(
0
)
=
2
e
0
+
0
−
2
⇔
g
(
0
)
=
0.
g\left(0\right)=2e^{0} +0-2\Leftrightarrow g\left(0\right)=0.
g
(
0
)
=
2
e
0
+
0
−
2
⇔
g
(
0
)
=
0.
Comme
g
(
x
)
=
2
e
x
+
x
−
2
g\left(x\right)=2e^{x} +x-2
g
(
x
)
=
2
e
x
+
x
−
2
alors
g
′
(
x
)
=
2
e
x
+
1
g'\left(x\right)=2e^{x} +1
g
′
(
x
)
=
2
e
x
+
1
donc
g
′
(
0
)
=
2
e
0
+
1
⇔
g
′
(
0
)
=
3
g'\left(0\right)=2e^{0} +1\Leftrightarrow g'\left(0\right)=3
g
′
(
0
)
=
2
e
0
+
1
⇔
g
′
(
0
)
=
3
Ainsi
y
=
3
(
x
−
0
)
+
0
⇔
y=3\left(x-0\right)+0\Leftrightarrow
y
=
3
(
x
−
0
)
+
0
⇔
y
=
3
x
y=3x
y
=
3
x