Exercices types : 1^ère partie - Exercice 4

$$\red{\text{ ETAPE 1 :}}$$ calculons les limites aux bornes du domaine de définition.
Cela va nous donner $$4$$ limites en tout.
En effet, $$f$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$ $$-\left\{1\right\}$$ c'est-à -dire sur $$\left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$$.
On devra calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)$$ ; $$\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)$$ ; $$\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}} f\left(x\right)$$ et $$\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}} f\left(x\right)$$
Explication de la limite en $$-\infty$$ .
On peut écrire que : $$f(x)=\frac{e^{x} }{1-x} \Leftrightarrow f(x)=e^{x} \times \frac{1}{1-x}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{1}{1-x} } & {=} & {0} \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} \times \frac{1}{1-x} =0.$$
D'où :
Il existe une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.
Explication de la limite en $$+\infty$$ .
D'après le cours, on sait : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{e^{x}}{x} =+\infty$$ . Il vient alors que : $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{e^{x}}{-x} =-\infty$$ ( nous avons multiplié par le signe $$-$$ )
donc $$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{e^{x}}{1-x} =-\infty$$
Explication de la limite en $$1$$ quand $$x<1$$ .
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}} e^{x} } & {=} & {e} \\ {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}} 1-x} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}$$
Il existe une asymptote verticale d'équation $$x=1$$.
Explication de la limite en $$1$$ quand $$x>1$$ .
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}} e^{x} } & {=} & {e} \\ {\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}} 1-x} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}$$
Il existe une asymptote verticale d'équation $$x=1$$.
$$\red{\text{ ETAPE 2 :}}$$ Calcul de la dérivée et de la variation de $$f$$.
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ $$-\left\{1\right\}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=e^{x}$$ et $$v\left(x\right)=1-x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=e^{x}$$ et $$v'\left(x\right)=-1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \times \left(1-x\right)-e^{x} \times \left(-1\right)}{\left(1-x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{x}-xe^{x}+e^{x}}{\left(1-x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2e^{x}-xe^{x}}{\left(1-x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{x}\times\left(2-x\right)}{\left(1-x\right)^{2}}$$
Pour tout $$x$$ appartenant à $$\mathbb{R}$$ $$-\left\{1\right\}$$, on sait que : $$e^{x}>0$$ et $$\left(1-x\right)^{2}>0$$ donc le signe de $$f'$$ dépend du signe de $$2-x$$.
Ainsi $$2-x \ge 0$$ lorsque $$x \le 2$$.
Donc $$f'\left(x\right)\ge0$$ si $$x\in \left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;2\right]$$ et $$f'\left(x\right)\le0$$ si $$x\in\left[2;+\infty\right]$$. Il nous reste à calculer la valeur de $$f(2)$$.
Ainsi : $$f(2)=\frac{e^{2} }{1-2}$$ d'où $$f(2)=-e^{2}$$
Toutes ces informations permettent de justifier le tableau de variation :