Exercices types : 1^ère partie - Exercice 3

Comme $$\lim\limits_{x\to +\infty } \left(4x+1\right)e^{-2x} =0$$, il existe une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

Soit $$f\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{-2x}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
Ici on reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=4x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{-2x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=4$$ et $$v'\left(x\right)=-2e^{-2x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=4e^{-2x} +\left(4x+1\right)\left(-2e^{-2x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=4e^{-2x} +4x\times\left(-2e^{-2x} \right) +1\times\left(-2e^{-2x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=4e^{-2x} -8xe^{-2x} -2e^{-2x}$$
$$f'\left(x\right)=2e^{-2x} -8xe^{-2x}$$ . Nous allons maintenant factoriser par $$e^{-2x}$$ .

Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{-2x} >0$$.
$$-8x+2\ge 0\Leftrightarrow -8x\ge -2\Leftrightarrow x\le \frac{-2}{-8} \Leftrightarrow x\le \frac{1}{4}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-8x+2$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{1}{4}$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

La formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse $$a$$ est donnée par :
$$y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).$$
Dans cette exercice, $$a=\frac{3}{2}$$.
On a alors $$y=f'\left(\frac{3}{2} \right)\left(x-\frac{3}{2} \right)+f\left(\frac{3}{2} \right)$$
$$f\left(\frac{3}{2} \right)=\left(4\times \frac{3}{2} +1\right)e^{-2\times \frac{3}{2} } \Leftrightarrow f\left(\frac{3}{2} \right)=7e^{-3}$$
$$f'\left(\frac{3}{2} \right)=e^{-2\times \frac{3}{2} } \left(-8\times \frac{3}{2} +2\right)\Leftrightarrow f'\left(\frac{3}{2} \right)=-10e^{-3}$$
Il en résulte que :
$$y=-10e^{-3} \left(x-\frac{3}{2} \right)+7e^{-3} \Leftrightarrow y=-10e^{-3} x+15e^{-3} +7e^{-3} \Leftrightarrow$$