Soit
f(x)=(4x+1)e−2xf est dérivable sur
]−∞;+∞[Ici on reconnait la forme
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=4x+1 et
v(x)=e−2x.
Ainsi
u′(x)=4 et
v′(x)=−2e−2x.
Il vient alors que :
f′(x)=4e−2x+(4x+1)(−2e−2x) f′(x)=4e−2x+4x×(−2e−2x)+1×(−2e−2x) f′(x)=4e−2x−8xe−2x−2e−2x f′(x)=2e−2x−8xe−2x . Nous allons maintenant factoriser par
e−2x .
f′(x)=e−2x(−8x+2) Pour tout réel
x, on a
e−2x>0.
−8x+2≥0⇔−8x≥−2⇔x≤−8−2⇔x≤41 Cela signifie que l'on va mettre le signe
+ dans la ligne de
−8x+2 lorsque
x sera inférieur ou égale à
41.
On en déduit le tableau de variation suivant :