Exercices types : 1^ère partie - Exercice 2

Soit $$g\left(x\right)=e^{x} +x+1$$
$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
On a : $$g'\left(x\right)=e^{x} +1.$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} +1>0$$.
Il vient alors que :

Sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$\lim\limits_{x\to -\infty } g\left(x\right)=-\infty$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty$$ . Or $$0\in \left]-\infty ;+\infty \right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\mathbb{R}$$ tel que $$g\left(x\right)=0$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$g\left(-1,28\right)\approx -0,001$$ et $$g\left(-1,27\right)\approx 0,0108$$ . Or $$0\in \left]-0,001;0,108\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante et $$g\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$g\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left]-\infty ;\alpha \right]$$ et $$g\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;+\infty \right[$$.
On résume cela dans un tableau de signe :

Soit : $$f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
Ici on reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=xe^{x}$$ et $$v\left(x\right)=e^{x} +1$$.
Attention : pour $$u\left(x\right)=xe^{x}$$, lorsque nous allons faire sa dérivée il faudra utiliser la forme $$\left(uv\right)^{'}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x}$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(e^{x} +xe^{x} \right)\left(e^{x} +1\right)-xe^{x} \times e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$ équivaut successivement à
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{2x} +xe^{x} -xe^{2x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(e^{x} +1+x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$

Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$ et $$\left(e^{x} +1\right)^{2} >0$$
Comme $$f'\left(x\right)=\frac{e^{x} g\left(x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$, il en résulte que le signe de $$f'$$ est le même que celui de $$g$$.
D'après la question $$4$$, nous avons vu que : On en déduit facilement le tableau de variation de la fonction $$f$$