Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

35 min
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Soit gg la fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=ex+x+1g\left(x\right)=e^{x} +x+1 .
Question 1

Calculer les limites de gg en −∞-\infty et +∞+\infty .

Correction
lim⁡x→−∞ex=0lim⁡x→−∞x+1=−∞}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\text{par somme}}
lim⁡x→−∞ex+x+1=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} +x+1=-\infty

lim⁡x→+∞ex=+∞lim⁡x→+∞x+1=+∞}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par somme}}
lim⁡x→+∞ex+x+1=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} +x+1=+\infty
Question 2

Etudiez les variations de gg.

Correction
Soit g(x)=ex+x+1g\left(x\right)=e^{x} +x+1
gg est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[
On a : g′(x)=ex+1.g'\left(x\right)=e^{x} +1.
Pour tout réel xx, on a ex+1>0e^{x} +1>0.
Il vient alors que :
Question 3

Démontrez que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
Donnez un encadrement de α\alpha à  10−210^{-2} près.

Correction
Sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[, la fonction gg est continue et strictement croissante.
De plus, lim⁡x→−∞g(x)=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } g\left(x\right)=-\infty et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty . Or 0∈]−∞;+∞[0\in \left]-\infty ;+\infty \right[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans R\mathbb{R} tel que g(x)=0g\left(x\right)=0.
A la calculatrice, on vérifie que :
g(−1,28)≈−0,001g\left(-1,28\right)\approx -0,001 et g(−1,27)≈0,0108g\left(-1,27\right)\approx 0,0108 . Or 0∈]−0,001;0,108]0\in \left]-0,001;0,108\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :
−1,28≤α≤−1,27-1,28\le \alpha \le -1,27
Question 4

En déduire le signe de gg sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
Sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[, la fonction gg est continue et strictement croissante et g(α)=0g\left(\alpha \right)=0.
Donc g(x)≤0g\left(x\right)\le 0 pour tout x∈]−∞;α]x\in \left]-\infty ;\alpha \right] et g(x)≥0g\left(x\right)\ge 0 pour tout x∈[α;+∞[x\in \left[\alpha ;+\infty \right[.
On résume cela dans un tableau de signe :
Question 5
Soit ff la fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=xexex+1f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1} .

Démontrer que, pour tout réel xx, f′(x)=exg(x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} g\left(x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} } .

Correction
Soit : f(x)=xexex+1f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1}
ff est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[
Ici on reconnait la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=xexu\left(x\right)=xe^{x} et v(x)=ex+1v\left(x\right)=e^{x} +1.
Attention : pour u(x)=xexu\left(x\right)=xe^{x} , lorsque nous allons faire sa dérivée il faudra utiliser la forme (uv)′\left(uv\right)^{'} .
Ainsi u′(x)=ex+xexu'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x} et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=(ex+xex)(ex+1)−xex×ex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{\left(e^{x} +xe^{x} \right)\left(e^{x} +1\right)-xe^{x} \times e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} } équivaut successivement à
f′(x)=e2x+ex+xe2x+xex−xe2x(ex+1)2 f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{2x} +xe^{x} -xe^{2x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f′(x)=e2x+ex+xex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f′(x)=ex(ex+1+x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(e^{x} +1+x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f′(x)=exg(x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} g\left(x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
Question 6

Etudier le sens de variations de la fonction ff (les limites de la fonction ff ne sont pas demandées).

Correction
Pour tout réel xx, on a ex>0e^{x} >0 et (ex+1)2>0\left(e^{x} +1\right)^{2} >0
Comme f′(x)=exg(x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} g\left(x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} } , il en résulte que le signe de f′f' est le même que celui de gg.
D'après la question 44, nous avons vu que :
On en déduit facilement le tableau de variation de la fonction ff

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