Exercices types : 1^ère partie - Exercice 1

Calculons $$\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} +3$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x+1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{2x} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} =-\infty$$
Finalement :
Calculons $$\lim\limits_{x\to -\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} +3$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -x+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{2x} } & {=} & {0} \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, on développe l'expression.
On a alors :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \left(-x+1\right)e^{2x} +3=\lim\limits_{x\to -\infty } -xe^{2x} +e^{2x} +3$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -xe^{2x} } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{2x} +3} & {=} & {3} \end{array}\right\}{\text{par somme}}\lim\limits_{x\to -\infty } -xe^{2x} +e^{2x} +3=3$$
Finalement :
La courbe $$C_{g}$$ admet une asymptote horizontale d'équation $$y=3$$

Soit $$g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3$$.
$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$.
On note $$w\left(x\right)=3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=0$$
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+1\right)\left(2e^{2x} \right)$$
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x\right)\times 2e^{2x} +1\times 2e^{2x}$$
$$g'\left(x\right)=-e^{2x} -2xe^{2x} +2e^{2x}$$
$$g'\left(x\right)=-2x{\color{blue}{e^{2x}}} +{\color{blue}{e^{2x}}}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{2x} >0$$.
$$-2x+1\ge 0\Leftrightarrow -2x\ge -1\Leftrightarrow x\le \frac{-1}{-2} \Leftrightarrow x\le \frac{1}{2}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-2x+1$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{1}{2}$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus : $$g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3$$

Sur $$\left]-\infty ;\frac{1}{2} \right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$3$$ comme minimum.
La fonction $$g$$ est strictement positive.
Donc l'équation $$g\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur $$\left[\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante.
De plus, $$g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=-\infty$$ .
Or $$0\in \left]-\infty ;\frac{1}{2} e+3\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\mathbb{R}$$ tel que $$g\left(x\right)=0$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$g\left(1,24\right)\approx 0,134$$ et $$g\left(1,25\right)\approx -0,045$$ .
Or $$0\in \left]-0,045;0,134\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left]-\infty ;\frac{1}{2} \right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$3$$ comme minimum.
La fonction $$g$$ est strictement positive.
Sur $$\left[\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante et $$g\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$g\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[\frac{1}{2} ;\alpha \right]$$ et $$g\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;+\infty \right[$$.
On résume cela dans un tableau de signe :

Soit $$f\left(x\right)=\left(-x+\frac{3}{2} \right)e^{2x} +6x-1$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+\frac{3}{2}$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$.
On note $$w\left(x\right)=6x-1$$ . Ainsi $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=6$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+\frac{3}{2} \right)\left(2e^{2x} \right)+6$$
$$f'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x\right)\times \left(2e^{2x} \right)+\frac{3}{2} \times \left(2e^{2x} \right)+6$$
$$f'\left(x\right)=-e^{2x} -2xe^{2x} +3e^{2x} +6$$
$$f'\left(x\right)=2e^{2x} -2xe^{2x} +6$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-2x+2\right)+6$$.
On va maintenant factoriser $$f'$$par $$2$$.
On obtient :
$$f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}e^{2x} \left(-x+1\right)+3\times {\color{blue}{2}}\Leftrightarrow f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}\left[e^{2x} \left(-x+1\right)+3\right]$$
Il en résulte que :

Comme $$f'\left(x\right)=2g\left(x\right)$$, il en résulte que le signe de $$f'$$ est le même que celui de $$g$$.
D'après la question $$4$$, nous avons vu que :
On en déduit facilement le tableau de variation de la fonction $$f$$ :