Exercice 8 - La fonction exponentielle - TS

Question 1

Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le

1

^er janvier

2000

et le

1

^er janvier

2010

afin d’évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe. Au

1

^er janvier

2000

, un ménage sur huit était équipé d’une connexion internet fixe et, au

1

^er janvier

2010

,

64\%

des ménages l’étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction

g

définie sur l’intervalle

\left[0; +\infty \right[

par :

g\left(t\right)=\frac{1}{1+ke^{-at} }

, où

k

et

a

sont deux constantes réelles positives et la variable

t

désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le

1

^er janvier

2000

.

Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g\left(0\right)=\frac{1}{8}$ et $g\left(10\right)=\frac{64}{100}$ .

Correction

D'une part :

g\left(0\right)=\frac{1}{8} \Leftrightarrow \frac{1}{1+ke^{-0} } =\frac{1}{8} \Leftrightarrow \frac{1}{1+k} =\frac{1}{8}

. Nous allons passer à l'inverse. Il vient alors que :

k+1=8\Leftrightarrow

k=7

D'autre part :

g\left(10\right)=\frac{64}{100} \Leftrightarrow \frac{1}{1+ke^{-10a} } =\frac{64}{100}

. Or nous savons que :

k=7

. Il vient alors que :

\frac{1}{1+7e^{-10a} } =\frac{64}{100}

64\left(1+7e^{-10a} \right)=100

64+448e^{-10a} =100

448e^{-10a} =36

e^{-10a} =\frac{36}{448}

e^{-10a} =\frac{9}{112}

\ln \left(e^{-10a} \right)=\ln \left(\frac{9}{112} \right)

-10a=\ln \left(\frac{9}{112} \right)

a=-\frac{1}{10} \ln \left(\frac{9}{112} \right)

a\approx 0,252

Question 2

Dans la suite, on prendra

k =7

et

a=0,25

. La fonction

g

est donc définie par :

g\left(t\right)=\frac{1}{1+7e^{-\frac{t}{4}} }

Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $\left[0; +\infty \right[$ .

Correction

La fonction

g

est dérivable sur

\left[0; +\infty \right[

.
On reconnaît la forme

\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }

avec

v\left(t\right)=1+7e^{-\frac{t}{4}}

Ainsi :

v'\left(t\right)=7\times \left(\frac{-1}{4}\right)e^{-\frac{t}{4}}

.
Il vient alors que :

g'\left(t\right)=\frac{-\left(7\times \left(\frac{-1}{4}\right)e^{-\frac{t}{4}}\right)}{\left(1+7e^{-\frac{t}{4}} \right)^{2} }

g'\left(t\right)=\frac{\frac{7}{4} e^{-\frac{t}{4} } }{\left(1+7e^{-\frac{t}{4} } \right)^{2} }

Or, on vérifie facilement que

\frac{7}{4} e^{-\frac{t}{4} }>0

et

\left(1+7e^{-\frac{t}{4} } \right)^{2}>0

. Il en résulte donc que pour tout réel

t

appartenant à

\left[0; +\infty \right[

, on a :

g'\left(t\right)>0

.

Question 3

Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe? Justifier la réponse.

Correction

Nous devons résoudre l'inéquation

g\left(t\right)\ge 0,99

. Soit :

\frac{1}{1+7e^{-\frac{t}{4} } } \ge 0,99

1\ge 0,99+0,693e^{-\frac{t}{4} }

-0,693e^{-\frac{t}{4} } \ge 0,99-1

-0,693e^{-\frac{t}{4} } \ge -0,01

e^{-\frac{t}{4} } \le \frac{-0,01}{-0,693}

e^{-\frac{t}{4} } \le \frac{10}{693}

\ln \left(e^{-\frac{t}{4} } \right)\le \ln \left(\frac{10}{693} \right)

-\frac{t}{4} \le \ln \left(\frac{10}{693} \right)

t\ge \ln \left(\frac{10}{693} \right)\times \left(-4\right)

t\ge \ln \left(\frac{10}{693} \right)\times \left(-4\right)

Or :

\ln \left(\frac{10}{693} \right)\times \left(-4\right)\approx 16,9

Donc dans

17

ans d’après ce modèle au moins

99\%

des ménages seront équipés.

Question 4

Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d’une connexion internet fixe au $1$ ^er janvier $2018$ .

Correction

L'année

2018

correspond au rang

t=18

.
On a :

g\left(18\right)=\frac{1}{1+7e^{-\frac{18}{4}} }

ce qui nous donne :

g\left(18\right)\approx 0,923

.
Au

1

^er janvier

2018

,

93\%

des foyers seraient équipés d'une connexion à internet.

Question 5

Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l’évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l’année $2018$ un sondage a été effectué. Sur $1000$ foyers, $880$ étaient équipés d’une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ .)

Correction

Il faut vérifier les conditions suivantes

n\ge 30

,

np\ge 5

et

n\left(1-p\right)\ge 5

. D'après la question

4

, nous avons

p=0,93

et d'après l'énoncé de la question

5

, on a

n=1000

.

$1000\ge 30$ donc $n\ge 30$
$1000\times 0,93=930$ donc $np\ge 5$
$1000\times \left(1-0,93\right)=70$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

95\%

.
On a alors :

I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]

I=\left[0,93-1,96\times \frac{\sqrt{0,93\times \left(1-0,93\right)} }{\sqrt{1000} } ;0,93+1,96\times \frac{\sqrt{0,93\times \left(1-0,93\right)} }{\sqrt{1000} } \right]

I=\left[0,914;0,946\right] .

Ici

0,914

est une valeur approchée par défaut de

0,93-1,96\times \frac{\sqrt{0,93\times \left(1-0,93\right)} }{\sqrt{1000} }

Ici

0,946

est une valeur approchée par excès de

0,93+1,96\times \frac{\sqrt{0,93\times \left(1-0,93\right)} }{\sqrt{1000} }

Or le sondage donne une fréquence de foyers équipés d’une connexion ﬁxe égale à :

f_{obs} =\frac{88}{100} \approx 0,88

Or

f_{obs} \notin \left[0,914;0,946\right]

.
Ce sondage donne raison à ces statisticiens sceptiques.

Exercice 8 - Exercice 1

Déterminer les valeurs exactes de kkk et de aaa pour que g(0)=18g\left(0\right)=\frac{1}{8}g(0)=81​ et g(10)=64100g\left(10\right)=\frac{64}{100}g(10)=10064​ .

Montrer que la fonction ggg est croissante sur l’intervalle [0;+∞[\left[0; +\infty \right[[0;+∞[ .

Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu’un jour, au moins 99%99\%99% des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe? Justifier la réponse.

Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d’une connexion internet fixe au 111er janvier 201820182018.

Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g\left(0\right)=\frac{1}{8}$ et $g\left(10\right)=\frac{64}{100}$ .

Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $\left[0; +\infty \right[$ .

Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe? Justifier la réponse.

Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d’une connexion internet fixe au $1$ ^er janvier $2018$ .