Exercice 5 - Exercice 1

$$f_{0} \left(x\right)=\frac{e^{x} }{e^{0x} \left(1+e^{x} \right)}$$ alors : $$f_{0} \left(x\right)=\frac{e^{x} }{1+e^{x} }$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} +1} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{e^{x} }{1+e^{x} } =0$$
La courbe $$C_{0}$$ admet une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$ au voisinage de moins l'infini.

On a : $$f_{0} \left(x\right)=\frac{e^{x} }{1+e^{x} }$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} +1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre une forme indéterminée.
On va donc factoriser le numérateur et le dénominateur par $$e^{x}$$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{1+e^{x} } =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{e^{x} \left(1+\frac{1}{e^{x} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{1+e^{x} } =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{1+\frac{1}{e^{x} } }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{1}{e^{x} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{1+e^{x} } =1$$
La courbe $$C_{0}$$ admet une asymptote horizontale d'équation $$y=1$$ au voisinage de plus l'infini.

$$f_{0}$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=e^{x}$$ et $$v\left(x\right)=e^{x} +1$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=e^{x}$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il en résulte que :
$$f_{0}^{'} \left(x\right)=\frac{e^{x} \times \left(1+e^{x} \right)-e^{x} \times e^{x} }{\left(1+e^{x} \right)^{2} }$$
$$f_{0}^{'} \left(x\right)=\frac{e^{x} +e^{2x} -e^{2x} }{\left(1+e^{x} \right)^{2} }$$
.
Ainsi $$f_{0}^{'} \left(x\right)>0$$.
Or , pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$ et $$\left(1+e^{x} \right)^{2} >0$$ .
On peut en conclure que la fonction $$f_{0}$$ est croissante sur $$\mathbb{R}$$.

On sait que la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est : $$y=f_{0}^{'} \left(0\right)\left(x-0\right)+f_{0} \left(0\right)$$
D'une part : $$f_{0} \left(x\right)=\frac{e^{x} }{1+e^{x} }$$ alors $$f_{0} \left(0\right)=\frac{e^{0} }{1+e^{0} } =\frac{1}{2}$$
D'autre part : $$f_{0}^{'} \left(x\right)=\frac{e^{x} }{\left(1+e^{x} \right)^{2} }$$ alors $$f_{0}^{'} \left(0\right)=\frac{e^{0} }{\left(1+e^{0} \right)^{2} } =\frac{1}{4}$$
Ainsi : $$y=\frac{1}{4} \left(x-0\right)+\frac{1}{2}$$
Enfin :

Posons $$d$$ une fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$d\left(x\right)=f_{0} \left(x\right)-\left(\frac{1}{4} x+\frac{1}{2} \right)$$.
Cette fonction nous permettra d'étudier la position relative de la courbe $$C_{0}$$ par rapport à la tangente $$T$$.
$$d\left(x\right)=f_{0} \left(x\right)-\left(\frac{1}{4} x+\frac{1}{2} \right)$$ équivaut successivement à
$$d\left(x\right)=\frac{e^{x} }{1+e^{x} } -\left(\frac{1}{4} x+\frac{1}{2} \right)$$
$$d\left(x\right)=\frac{e^{x} }{1+e^{x} } -\frac{\left(\frac{1}{4} x+\frac{1}{2} \right)}{1}$$
On va tout mettre au même dénominateur,
$$d\left(x\right)=\frac{e^{x} }{1+e^{x} } -\frac{\left(\frac{1}{4} x+\frac{1}{2} \right)\left(1+e^{x} \right)}{1+e^{x} }$$
$$d\left(x\right)=\frac{e^{x} -\left(\frac{1}{4} x+\frac{1}{2} \right)\left(1+e^{x} \right)}{1+e^{x} }$$
$$d\left(x\right)=\frac{e^{x} -\frac{1}{4} x-\frac{1}{4} xe^{x} -\frac{1}{2} -\frac{1}{2} e^{x} }{1+e^{x} }$$
$$d\left(x\right)=\frac{\frac{4e^{x} }{4} -\frac{1}{4} x-\frac{1}{4} xe^{x} -\frac{2}{4} -\frac{2}{4} e^{x} }{1+e^{x} }$$
$$d\left(x\right)=\frac{\frac{1}{4} \left(4e^{x} -x-xe^{x} -2-2e^{x} \right)}{1+e^{x} }$$
$$d\left(x\right)=\frac{\frac{1}{4} \left(2e^{x} -x-xe^{x} -2\right)}{1+e^{x} }$$

Le dénominateur $$4\left(1+e^{x} \right)$$ est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$d$$ dépend du numérateur $$2e^{x} -x-xe^{x} -2$$.
Ainsi pour étudier la position de la courbe $$C_{0}$$ par rapport à la tangente $$T$$, il suffit d'étudier sur $$\mathbb{R}$$ le signe de $$g\left(x\right)$$, où$$g\left(x\right)=2e^{x} -xe^{x} -2-x$$.

$$g$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ donc :
$$g'\left(x\right)=2e^{x} -\left(e^{x} +xe^{x} \right)-1$$
$$g'\left(x\right)=2e^{x} -e^{x} -xe^{x} -1$$
On effectue maintenant la dérivée de $$g'$$ qui nous donnera $$g''$$.
$$g''\left(x\right)=e^{x} -\left(e^{x} +xe^{x} \right)$$
$$g''\left(x\right)=e^{x} -e^{x} -xe^{x}$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$, $$g''$$est du signe de $$-x$$ car $$e^{x} >0$$.
Il en résulte que :
$$g''\left(x\right)\ge 0$$ sur $$\left]-\infty ;0\right]$$ et $$g''\left(x\right)\le 0$$ sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
On en déduit le tableau de variation de $$g'$$ .

De plus, on sait que $$g'\left(x\right)=e^{x} -xe^{x} -1$$.
$$g'\left(0\right)=e^{0} -0e^{0} -1=0$$.
Ainsi la fonction $$g'$$ admet un maximum en $$0$$ qui vaut $$0$$.
Il en résulte que pour tout réel $$x$$, $$g'\left(x\right)\le 0$$.
On en déduit que la fonction $$g$$ est croissante sur $$\mathbb{R}$$.
On résume tout cela dans un tableau de variation :
De plus, on sait que : $$g\left(x\right)=2e^{x} -xe^{x} -2-x$$
On remarque que : $$g\left(0\right)=2e^{0} -0e^{0} -2-0=0$$
De plus : $$\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x} -xe^{x} -2-x=+\infty$$
Il en résulte donc que $$g\left(x\right)\ge 0$$ sur $$\left]-\infty ;0\right]$$ et $$g\left(x\right)\le 0$$ sur $$\left[0;+\infty \right[$$.

D'après la question précédente :

• $$g\left(x\right)\ge 0$$ sur $$\left]-\infty ;0\right]$$ la courbe $$C_{0}$$ est au-dessus de la tangente $$T$$ sur $$\left]-\infty ;0\right]$$
• $$g\left(x\right)\le 0$$ sur $$\left[0;+\infty \right[$$ la courbe $$C_{0}$$ est en dessous de la tangente $$T$$ sur $$\left[0;+\infty \right[$$

$$u_{0} =\int _{0}^{1}f_{0} \left(x\right)dx$$ donc $$u_{0} =\int _{0}^{1}\frac{e^{x} }{1+e^{x} } dx$$
En posant $$u\left(x\right)=1+e^{x}$$ alors $$u'\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi : $$f_{0} \left(x\right)=\frac{e^{x} }{1+e^{x} } =\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}$$
Donc une primitive de $$f_{0}$$ est $$\ln \left(1+e^{x} \right)$$.
Ainsi,
$$u_{0} =\int _{0}^{1}\frac{e^{x} }{1+e^{x} } dx$$
$$u_{0} =\left[\ln \left(1+e^{x} \right)\right]_{0}^{1}$$
$$u_{0} =\ln \left(1+e^{1} \right)-\ln \left(1+e^{0} \right)$$
$$u_{0} =\ln \left(1+e\right)-\ln \left(2\right)$$

$$u_{0} +u_{1} =\int _{0}^{1}\frac{e^{x} }{1+e^{x} } dx +\int _{0}^{1}\frac{1}{1+e^{x} } dx$$
$$u_{0} +u_{1} =\int _{0}^{1}\frac{1+e^{x} }{1+e^{x} } dx$$
$$u_{0} +u_{1} =\int _{0}^{1}1dx$$
$$u_{0} +u_{1} =\left[x\right]_{0}^{1}$$

D'après la question précédente, on sait que $$u_{0} =\ln \left(\frac{1+e}{2} \right)$$.
Ainsi : $$u_{1} =1-u_{0}$$.
D'où :

On a : $$u_{n} =\int _{0}^{1}f_{n} \left(x\right)dx$$ qui s'écrit $$u_{n} =\int _{0}^{1}\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} dx$$.
Pour tout entier naturel $$n$$ et pour tout réel $$x\in \left[0;1\right]$$, on a : $$\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} \ge 0$$.
Il en résulte que : $$\int _{0}^{1}\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} dx \ge 0$$ alors : $$u_{n} \ge 0$$.

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$k\left(x\right)=f_{n+1} \left(x\right)-f_{n} \left(x\right)$$ équivaut successivement à
$$k\left(x\right)=\frac{e^{x} }{e^{\left(n+1\right)x} \left(1+e^{x} \right)} -\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)}$$
$$k\left(x\right)=\frac{e^{x} }{e^{x} e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} -\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)}$$
$$k\left(x\right)=\frac{1}{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} -\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)}$$

Pour tout réel $$x\in \left[0;1\right]$$, on vérifie facilement que $$e^{nx} \left(1+e^{x} \right)>0$$.
Le signe de $$k\left(x\right)$$ dépend du numérateur $$1-e^{x}$$.
$$1-e^{x} \le 0$$ équivaut successivement à
$$-e^{x} \le -1$$
$$e^{x} \ge 1$$
$$e^{x} \ge e^{0}$$
$$x\ge 0.$$
Il en résulte que : $$1-e^{x} \le 0$$ lorsque $$x\in \left[0;1\right]$$.
Finalement : $$k\left(x\right)\le 0$$ lorsque $$x\in \left[0;1\right]$$.

On sait que $$u_{n} =\int _{0}^{1}f_{n} \left(x\right)dx$$.
Etudions le signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =\int _{0}^{1}f_{n+1} \left(x\right) dx-\int _{0}^{1}f_{n} \left(x\right) dx$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\int _{0}^{1}\left(f_{n+1} \left(x\right)-f_{n} \left(x\right)\right) dx.$$
D'après la question précédente : $$k\left(x\right)=f_{n+1} \left(x\right)-f_{n} \left(x\right)$$
Ainsi,
$$u_{n+1} -u_{n} =\int _{0}^{1}k\left(x\right) dx.$$
Or $$k\left(x\right)\le 0$$ lorsque $$x\in \left[0;1\right]$$ donc $$\int _{0}^{1}k\left(x\right) dx\le 0$$. Ainsi $$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$.
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.

Pour tout entier naturel $$n$$ supérieur ou égal à $$1$$, on a :
$$u_{n+1} +u_{n} =\int _{0}^{1}f_{n+1} \left(x\right) dx+\int _{0}^{1}f_{n} \left(x\right) dx$$ équivaut successivement à
$$u_{n+1} +u_{n} =\int _{0}^{1}\left(f_{n+1} \left(x\right)+f_{n} \left(x\right)\right) dx$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\int _{0}^{1}\left(\frac{e^{x} }{e^{\left(n+1\right)x} \left(1+e^{x} \right)} +\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} \right) dx$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\int _{0}^{1}\left(\frac{e^{x} }{e^{x} e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} +\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} \right) dx$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\int _{0}^{1}\left(\frac{1}{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} +\frac{e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} \right) dx$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\int _{0}^{1}\left(\frac{1+e^{x} }{e^{nx} \left(1+e^{x} \right)} \right) dx$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\int _{0}^{1}\frac{1}{e^{nx} } dx$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\int _{0}^{1}e^{-nx} dx$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\left[\frac{-1}{n} e^{-nx} \right]_{0}^{1}$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\frac{-1}{n} e^{-n} +\frac{1}{n} e^{-n\times 0}$$
$$u_{n+1} +u_{n} =\frac{-1}{n} e^{-n} +\frac{1}{n}$$

D'après la question précédente, on sait que $$u_{n+1} +u_{n} =\frac{1-e^{-n} }{n}$$
Donc $$v_{n} =\frac{\left(\frac{1-e^{-n} }{n} \right)}{2}$$ que l'on peut aussi écrire $$v_{n} =\frac{1-e^{-n} }{2n} =\frac{1-\frac{1}{e^{n} } }{2n}$$
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{1}{e^{n} } } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient $$\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0$$