Exercice 4 - Exercice 1

On suppose que la fonction $$f$$ s'écrit sous la forme $$f\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x^{2} }$$ où $$a$$ et $$b$$ sont des réels.
On sait que le point O appartient à $$C_{f}$$ donc $$f\left(0\right)=0$$ ce qui équivaut à $$\left(0+b\right)e^{0} =0$$ ou encore .
Donc $$f(x)$$ s'écrit $$f(x)=axe^{-x^{2} }$$.
La droite$$\left({\text OA}\right)$$ est tangente à la courbe $$C_{f}$$ en O, et elle a pour coefficient directeur 2.
Le nombre $$f'\left(0\right)$$ désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$, donc $$f'\left(0\right)=2$$.
On commence par calculer la dérivée de $$f(x)=axe^{-x^{2} }$$
On reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=ax$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x^{2} }$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=a$$ et $$v'\left(x\right)=-2xe^{-x^{2} }$$.
Il vient alors que : $$f'\left(x\right)=ae^{-x^{2} } +ax\left(-2xe^{-x^{2} } \right)$$
$$f'(x)=e^{-x^{2} } \left(a-2ax^{2} \right)$$
Or $$f'0)=2$$, donc
$$(a-0)e^{0} =2$$

Il en résulte que $$f\left(x\right)=\left(2x\right)e^{-x^{2} }$$.

On admettra que pour tout réel $$x$$ strictement positif, $$f(x)=\frac{2}{x} \times \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } }$$
On pose $$X=x^{2}$$ ainsi $$\frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } =\frac{X}{e^{X} }$$
Lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$alors $$x^{2}$$ tend également vers$$+\infty$$.
Ce qui signifie que $$X$$ tend également vers $$+\infty$$.
Or d'après les formules de cours, on sait que $$\lim\limits_{X\to +\infty } \frac{X}{e^{X} } =0$$ ainsi $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } =0$$.
$$\left. \begin{array}{l} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } =0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} =0} \end{array}\right\}$$ donc par produit $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} \times \frac{x^{2} }{e^{x^{2} } } =0$$
Finalement $$\lim\limits_{x\to +\infty } f(x)=0$$.
La courbe $$C_{f}$$ admet une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$ au voisinage de $$+\infty$$.

La fonction $$f$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty \right[$$ et on a déjà vu que $$f'(x)=\left(a-2ax^{2} \right)e^{-x^{2} } =\left(2-4x^{2} \right)e^{-x^{2} }$$ puisque $$a=2$$.
Pour tout $$x,e^{-x^{2} } >0$$ donc $$a=2$$ est du signe de $$2-4x^{2}$$.
On utilise le discriminant pour déterminer les racines de $$2-4x^{2}$$ et on obtient $$x_{1} =-\frac{\sqrt{2} }{2}$$ et $$x_{2} =\frac{\sqrt{2} }{2}$$.
Comme $$a=-4<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

On sait que la dérivée de $$x\mapsto e^{u(x)}$$est $$x\mapsto u'\times e^{u(x)}$$, donc une primitive de $$x\mapsto u'\times e^{u(x)}$$ est $$x\mapsto e^{u(x)}$$.
Donc la fonction $$x\mapsto -2x\times e^{-x^{2} }$$ a pour primitive la fonction $$x\mapsto e^{-x^{2} }$$ donc une primitive de la fonction $$f$$ est $$g$$ définie par $$g\left(x\right)=-e^{-x^{2} } +k$$ où $$k\in R$$ (reprenez les vidéos sur les primitives pour vous aider au cas où).
$$C_{g}$$ passe par le point $${\text B}\left(0;-1\right)$$, donc $$g(0)=-1$$, ce qui équivaut à $$-{\text e}^{{\text 0}} +k=-1$$ donc $$k=0$$
La primitive de $$f$$ dont la courbe représentative passe par le point $$B$$ est donc la fonction $$g$$ définie sur$$\left[0;+\infty \right[$$ par $$g\left(x\right)=-e^{-x^{2} }$$.

Soit $$m$$ un réel strictement positif.
$$I_{m} =\int _{0}^{m}f\left(t\right)dt$$ équivaut successivement à
$$I_{m} =g\left(m\right)-g\left(0\right)$$
$$I_{m} =-e^{-m^{2} } -\left(-1\right)$$
$$I_{m} =1-e^{-m^{2} }$$

Il vient :
$$\lim\limits_{m\to +\infty } I_{m} =\lim\limits_{m\to +\infty } 1-e^{-m^{2} }$$ équivaut successivement à
$$\lim\limits_{m\to +\infty } I_{m} =\lim\limits_{m\to +\infty } 1-\frac{1}{e^{m^{2} } }$$ or $$\lim\limits_{m\to +\infty } \frac{1}{e^{m^{2} } } =0$$
Ainsi $$\lim\limits_{m\to +\infty } I_{m} =1$$

$$f\left(x\right)=\left(2x\right)e^{-x^{2} }$$
La fonction $$f$$ est :

• Continue sur $$\left[{\text 0;\; }+\infty \right[$$ comme composée de produit de fonctions continues sur $$\left[0;+\infty \right[$$
• Positive sur$$\left[0;+\infty \right[$$ car sur $$\left[{\text 0;\; }+\infty \right[$$ on a : $$2x\ge0$$ et $$e^{-x^{2} } >0$$.
• Telle que$$\lim\limits_{m\to +\infty } \int _{0}^{m}f(t)dt=1$$ (vu à la question 5)

Donc $$f$$ est une fonction densité de probabilité sur $$\left[0;+\infty \right[$$.

Soit $$X$$ une variable aléatoire continue qui admet la fonction $$f$$ comme densité de probabilité.
Pour tout $$x$$ de $$I$$, $$P\left(X\le x\right)=\int _{0}^{x}f(t)dt =g(x)-g(0)$$.
Or $$g(0)=-e^{0} =-1$$, donc $$P\left(X\le x\right)=g(x)+1$$.

Soit $$\alpha$$ le réel tel que $$P(X\le \alpha )=0,5.$$
$$P(X\le \alpha )=0,5$$ équivaut successivement à
$$g(\alpha )+1=0,5$$
$$g(\alpha )=-0,5$$
$$-e^{-\alpha ^{2} } =-0,5$$
$$e^{-\alpha ^{2} } =0,5$$
$$\ln \left(e^{-\alpha ^{2} } \right)=\ln \left(0,5\right)$$
$$-\alpha ^{2} =\ln \left(0,5\right)$$
$$-\alpha ^{2} =\ln \left(\frac{1}{2} \right)$$
$$-\alpha ^{2} =-\ln \left(2\right)$$
$$\alpha ^{2} =\ln \left(2\right)$$
$$\alpha ^{2} =\ln \left(2\right)$$
$$\alpha =\sqrt{\ln 2}$$ car $$\alpha > 0$$