Exercice 2 - Exercice 1

Par notion de cours, la fonction exponentielle est positive sur $$\mathbb{R}$$. Il en résulte donc que $$e^{2x+1}>0$$. Le signe de $$f$$ dépend alors uniquement de $$-x$$

• Si $$x<0,f(x)>0$$.
• Si $$x>0,f(x)<0$$.

Ici on reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x+1}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x+1}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-e^{2x+1} +\left(-x\right)\left(2e^{2x+1} \right)$$.
On factorise par $$e^{2x+1}$$
$$f'\left(x\right)=e^{2x+1} \left(-1-2x\right)$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{2x+1} >0$$.
$$-1-2x\ge 0\Leftrightarrow x\le -\frac{1}{2} .$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{1}{2}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{1}{2};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

On en déduit le tableau de variation suivant :

$$-\frac{e}{2} (2x)e^{2x} =-exe^{2x}$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{e}{2} (2x)e^{2x} =-x\times e\times e^{2x}$$

$$f(x)=-xe^{2x+1}$$

Calcul de la limite en $$+\infty$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{2x+1} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}\lim\limits_{x\to +\infty } -xe^{2x+1} =-\infty$$

Calcul de la limite en $$-\infty$$

On utilise la forme $$f(x)=-\frac{e}{2} (2x)e^{2x}$$.
Or : $$\lim\limits_{x\to +\infty } (2x)e^{2x} =0$$ ( Formule du cours )
Ainsi $$\lim\limits_{x\to +\infty } f(x)=0$$.
Il en résulte qu'il existe une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$ .

$$y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)$$
$$y=\frac{1}{e} \left(x+1\right)+\frac{1}{e}$$

$$g(x)=e^{x}$$, la tangente à $$(\Gamma )$$ au point d'abscisse $$-1$$
$$y=g'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+g\left(-1\right)$$
$$y=e^{-1} \left(x+1\right)+e^{-1}$$

$$h$$ est le produit de fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$, elle est donc dérivable sur cet intervalle.
Ici on reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=ex$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=e$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$h'\left(x\right)=ee^{x} +exe^{x}$$
$$h'\left(x\right)=ee^{x} (1+x)$$ $$h'$$ est donc du signe $$(1+x)$$.
$$1+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-1\right]$$ alors $$h'\left(x\right)\le0$$ et donc $$h$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-1;+\infty\right[$$ alors $$h'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$h$$ est croissante sur cet intervalle.

On en déduit le tableau de variation suivant :
Or $$h\left(-1\right)=1-ee^{-1}$$ c'est-à-dire $$h\left(-1\right)=1-e^{0} =0$$.
Il en résulte que pour tout réel $$x$$, la fonction $$h$$ est positive.

Pour étudier la position des deux courbes, il nous faut étudier le signe de $$f(x)-g(x)$$
$$f\left(x\right)-g\left(x\right)=-xe^{2x+1} -e^{x}$$
$$f\left(x\right)-g\left(x\right)=-e^{x} \left(exe^{x} +1\right)$$

Or $$e^{x} >0$$ d'où $$f\left(x\right)-g\left(x\right)$$ sera du signe de $$-h\left(x\right)$$
D'après la question précédente $$h\left(x\right)\le 0\Leftrightarrow -h\left(x\right)\le 0$$ alors
$$f\left(x\right)-g\left(x\right)\le 0$$ cela signifie que la courbe $$\left(\mathscr{C}\right)$$ est au-dessous de la courbe $$\left(\Gamma \right)$$ sur $$\mathbb{R}$$.

Une équation de tangente au point $$m$$ est de la forme :
$$y=f'\left(m\right)\left(x-m\right)+f\left(m\right)$$

• Si $$y=0$$, alors $$x=m-1$$. Donc $$A\left(m-1;0\right)$$
• Si $$x=0$$ , alors $$y=e^{m} \left(1-m\right)$$. Donc $$B\left(0;e^{m} \left(1-m\right)\right)$$

Les coordonnées du milieu $$J$$ du segment $$\left[AB\right]$$ sont donc :
$$\left(\frac{x_{A} +x_{B} }{2} ;\frac{y_{A} +y_{B} }{2} \right)$$
D'où :

$$J$$ appartient à $$\left(\mathscr{C}\right)$$ si ces coordonnées vérifient l'équation de $$\left(\mathscr{C}\right)$$
$$f\left(\frac{m-1}{2} \right)=-\frac{m-1}{2} e^{m-1+1} =\frac{1-m}{2} e^{m}$$ qui est bien l'ordonnée de $$J$$.