Etude de fonctions - Exercice 5

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -\infty } -x=+\infty$$.
On pose $$X=-x$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to +\infty } e^{X} =+\infty$$.
Par composition :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2+3e^{-x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}$$ La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$-\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } -x=-\infty$$.
On pose $$X=-x$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to -\infty } e^{X} =0$$.
Par composition :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+3e^{-x}} & {=} & {2 } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}$$ La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=\frac{1}{2}$$.

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$$ avec $$v\left(x\right)=2+3e^{-x}$$.
Ainsi $$v'\left(x\right)=-3e^{-x}$$.
$$f'\left(x\right)=-\frac{-3e^{-x} }{\left(2+3e^{-x} \right)^{2} }$$
Il vient alors que :
Pour tout réel $$x$$, on vérifie aisément que : $$\left(2+3e^{-x} \right)^{2}>0$$. De plus , $$e^{-x}>0$$ et donc que $$3e^{-x}>0$$.
Il en résulte donc que pour tout réel $$x$$, on a : $$f'\left(x\right)>0$$. La fonction $$f$$ est donc croissante sur $$\mathbb{R}$$.