Etude de fonctions - Exercice 3

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Etudiez les variations des fonctions suivantes sur R\mathbb{R} .
Il faut avoir vu la fonction logarithme népérien pour pouvoir faire cet exercice.
Question 1

f(x)=2ex−2x+1f\left(x\right)=2e^{x}-2x+1

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}. On a :
f′(x)=2ex−2f'\left(x\right)=2e^{x}-2

Résolvons l'inéquation :
2ex−2≥02e^{x}-2 \ge 0 équivaut successivement à :
2ex≥22e^{x} \ge 2
ex≥22e^{x} \ge \frac{2}{2}
ex≥1e^{x} \ge 1
ex≥e0e^{x} \ge e^{0}
x≥0x \ge 0
Cela signifie que 2ex−2≥02e^{x}-2 \ge 0 lorsque x≥0x \ge 0. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :
Question 2

f(x)=ex−3x+6f\left(x\right)=e^{x}-3x+6

Correction
  • elna=ae^{lna} =a avec a>0a>0
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B

ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
On a :
f′(x)=ex−3f'\left(x\right)=e^{x}-3

Résolvons l'inéquation :
ex−3≥0e^{x}-3 \ge 0 équivaut successivement à :
ex≥3e^{x} \ge 3
ex≥eln⁡3e^{x} \ge e^{\ln3}
x≥ln⁡3x \ge \ln3
Cela signifie que ex−3≥0e^{x}-3 \ge 0 lorsque x≥ln⁡3x \ge \ln3.
Nous mettrons donc le signe ++ lorsque x≥ln⁡3x \ge \ln3.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :
Question 3

f(x)=−4ex+8x−1f\left(x\right)=-4e^{x}+8x-1

Correction
  • elna=ae^{lna} =a avec a>0a>0
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B

ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
On a :
f′(x)=−4ex+8f'\left(x\right)=-4e^{x}+8

Résolvons l'inéquation :
−4ex+8≥0-4e^{x}+8 \ge 0 équivaut successivement à :
−4ex≥−8-4e^{x} \ge -8
ex≤−8−4e^{x} \le \frac{-8}{-4}
ex≤2e^{x} \le 2
ex≤eln⁡2e^{x} \le e^{\ln2}
x≤ln⁡2x \le \ln2
Cela signifie que −4ex+8≥0-4e^{x}+8 \ge 0 lorsque x≤ln⁡2x \le \ln2.
Nous mettrons donc le signe ++ lorsque x≤ln⁡2x \le \ln2.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :


Question 4

f(x)=−3e−2x−5x+8f\left(x\right)=-3e^{-2x}-5x+8

Correction
  • elna=ae^{lna} =a avec a>0a>0
  • eA=eB⇔A=Be^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}

ff est dérivable sur R\mathbb{R}
On a :
f′(x)=−3×(−2)e−2x−5f'\left(x\right)=-3\times(-2)e^{-2x}-5
f′(x)=6e−2x−5f'\left(x\right)=6e^{-2x}-5

Résolvons l'inéquation :
6e−2x−5≥06e^{-2x}-5 \ge 0 équivaut successivement à :
6e−2x≥56e^{-2x} \ge 5
e−2x≥56e^{-2x} \ge \frac{5}{6}
e−2x≥eln⁡56e^{-2x} \ge e^{\ln\frac{5}{6}}
−2x≥ln⁡56-2x \ge \ln\frac{5}{6}
x≤−12ln⁡56x \le -\frac{1}{2}\ln\frac{5}{6}
Cela signifie que 6e−2x−5≥06e^{-2x}-5 \ge 0 lorsque x≤−12ln⁡56x \le -\frac{1}{2}\ln\frac{5}{6}.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :

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