Etude de fonctions - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$. On a :

Résolvons l'inéquation :
$$2e^{x}-2 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$2e^{x} \ge 2$$
$$e^{x} \ge \frac{2}{2}$$
$$e^{x} \ge 1$$
$$e^{x} \ge e^{0}$$
$$x \ge 0$$
Cela signifie que $$2e^{x}-2 \ge 0$$ lorsque $$x \ge 0$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On a :

Résolvons l'inéquation :
$$e^{x}-3 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$e^{x} \ge 3$$
$$e^{x} \ge e^{\ln3}$$
$$x \ge \ln3$$
Cela signifie que $$e^{x}-3 \ge 0$$ lorsque $$x \ge \ln3$$.
Nous mettrons donc le signe $$+$$ lorsque $$x \ge \ln3$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On a :

Résolvons l'inéquation :
$$-4e^{x}+8 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-4e^{x} \ge -8$$
$$e^{x} \le \frac{-8}{-4}$$
$$e^{x} \le 2$$
$$e^{x} \le e^{\ln2}$$
$$x \le \ln2$$
Cela signifie que $$-4e^{x}+8 \ge 0$$ lorsque $$x \le \ln2$$.
Nous mettrons donc le signe $$+$$ lorsque $$x \le \ln2$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$
On a :
$$f'\left(x\right)=-3\times(-2)e^{-2x}-5$$

Résolvons l'inéquation :
$$6e^{-2x}-5 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$6e^{-2x} \ge 5$$
$$e^{-2x} \ge \frac{5}{6}$$
$$e^{-2x} \ge e^{\ln\frac{5}{6}}$$
$$-2x \ge \ln\frac{5}{6}$$
$$x \le -\frac{1}{2}\ln\frac{5}{6}$$
Cela signifie que $$6e^{-2x}-5 \ge 0$$ lorsque $$x \le -\frac{1}{2}\ln\frac{5}{6}$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ainsi :