Calculs de primitives avec $$e^{x}$$ - Exercice 2

$$f\left(x\right)=6e^{x}+\frac{2e^{x}}{e^{x}+7}$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$f\left(x\right)=\frac{6e^{x} \times \left(e^{x} +7\right)}{e^{x} +7} +\frac{2e^{x} }{e^{x} +7}$$
$$f\left(x\right)=\frac{6e^{x} \times \left(e^{x} +7\right)+2e^{x} }{e^{x} +7}$$
$$f\left(x\right)=\frac{6e^{x} \times e^{x} +6e^{x} \times 7+2e^{x} }{e^{x} +7}$$
$$f\left(x\right)=\frac{6e^{2x} +42e^{x} +2e^{x} }{e^{x} +7}$$

Pour déterminer une primitive de $$f\left(x\right)=\frac{6e^{2x}+44e^{x}}{e^{x}+7}$$ , il est impératif d'utiliser la forme obtenue à la question $$1$$, c'est à dire $$f\left(x\right)=6e^{x}+\frac{2e^{x}}{e^{x}+7}$$.
Nous allons commencer par calculer la primitive de $$x\mapsto \frac{2e^{x}}{e^{x}+7}$$ . Introduisons une fonction $$g$$ continue sur $$\mathbb{R}$$ telle que $$g\left(x\right)=\frac{2e^{x}}{e^{x}+7}$$ .
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=6e^{x}+\frac{2e^{x}}{e^{x}+7}$$ est alors :
$$F\left(x\right)=6e^{x}+G\left(x\right)$$
Ainsi :
où $$k \in \mathbb{R}$$