Nous allons procéder par récurrence.
Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un=40−40×0,5nEtape d'initialisationOn sait que
u1=20 et que
u1=40−40×0,51=20 .
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk=40−40×0,5k et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1=40−40×0,5k+1Par hypothèse de récurrence :
uk=40−40×0,5k , on multiplie par
0,5 de part et d'autre de l'égalité
0,5uk=0,5×(40−40×0,5k) 0,5uk=0,5×40−40×0,5k×0,50,5uk=20−40×0,5k×0,5 . On va maintenant additionner par
20 de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche
uk+1)
0,5uk+20=20−40×0,5k×0,5+200,5uk+20=40−40×0,5k×0,5 uk+1=40−40×0,5k+1 Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :
un=40−40×0,5n