Bac 2025

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QCM - Exercice 1

20 min
35
Question 1
Pour chacune des affirmations ci-dessous, précisez si elle est vraie ou fausse. Il faudra bien entendu justifier votre choix!

Si pour tout réel x>0x>0, on a : f(x)≤2xf\left(x\right)\le \frac{2}{x} alors lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0

Correction
L'affirmation est FAUSSE.
Nous choisissons comme fonction f(x)=−1x−2f\left(x\right)=\frac{-1}{x}-2. Or, pour tout réel x>0x>0, on a : f(x)≤2xf\left(x\right)\le \frac{2}{x} et dans ce cas lim⁡x→+∞f(x)=−2\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=-2
Question 2

Si pour tout réel x>0x>0, on a : −2x+3≤f(x)≤2x+3\frac{-2}{x}+3\le f\left(x\right)\le \frac{2}{x}+3 alors lim⁡x→+∞f(x)=3\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=3

Correction
L'affirmation est VRAIE. Nous allons appliquer le théorème des gendarmes.
D'une part : lim⁡x→+∞−2x+3=3\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-2}{x}+3=3
D'une part : lim⁡x→+∞2x+3=3\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}+3=3
D'après le théorème des gendarmes : lim⁡x→+∞f(x)=3\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=3
Question 3

Si lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty alors lim⁡x→+∞f(x)g(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1

Correction
L'affirmation est FAUSSE.
Nous choisissons les fonctions f(x)=xf\left(x\right)=x et g(x)=x2g\left(x\right)=x^{2}.
On a bien lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty
Or : lim⁡x→+∞xx2=lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}=0
Question 4

Si lim⁡x→+∞f(x)g(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0 alors lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0

Correction
L'affirmation est FAUSSE.
Nous choisissons les fonctions f(x)=1f\left(x\right)=1 et g(x)=x+2g\left(x\right)=x+2.
On a bien lim⁡x→+∞f(x)g(x)=lim⁡x→+∞1x+2=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x+2}=0 et lim⁡x→+∞f(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=1.
Question 5

Si pour tout réel x>1x>1 : g(x)−f(x)≤0g\left(x\right)-f\left(x\right)\le 0 et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty alors lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty

Correction
L'affirmation est VRAIE.
Comme g(x)−f(x)≤0g\left(x\right)-f\left(x\right)\le 0 alors g(x)≤f(x)g\left(x\right)\le f\left(x\right) et comme lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=+\infty alors d'après le théorème de comparaison on a bien : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
Question 6

Si lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=0 alors lim⁡x→+∞f(x)×g(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)\times g\left(x\right) =0

Correction
L'affirmation est FAUSSE.
Nous choisissons les fonctions f(x)=xf\left(x\right)=x et g(x)=1xg\left(x\right)=\frac{1}{x}.
On a bien :
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et lim⁡x→+∞g(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=0 mais lim⁡x→+∞f(x)×g(x)=lim⁡x→+∞x×1x=1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)\times g\left(x\right) =\lim\limits_{x\to +\infty } x\times \frac{1}{x}=1

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