Fonctions : limites et asymptotes

Limites et forme indéterminée - Exercice 3

5 min
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Une limite un peu particulière
Question 1

lim⁡x→+∞1x+5−x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }

Correction
  • Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b\sqrt{a} -\sqrt{b} , il faut penser à multiplier par le conjugué a+b\sqrt{a} +\sqrt{b} afin d'obtenir une forme a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt{a} -\sqrt{b} =\frac{\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a} +\sqrt{b} } .
lim⁡x→+∞1x+5−x=lim⁡x→+∞x+5+x(x+5−x)(x+5+x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x} \right)\left(\sqrt{x+5} +\sqrt{x} \right)}
lim⁡x→+∞1x+5−x=lim⁡x→+∞x+5+x(x+5)2−(x)2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} \right)^{2} -\left(\sqrt{x} \right)^{2} }
lim⁡x→+∞1x+5−x=lim⁡x→+∞x+5+x5\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5}
Or : lim⁡x→+∞x+5=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} =+\infty et lim⁡x→+∞x=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x} =+\infty , ainsi : lim⁡x→+∞x+5+x5=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5} =+\infty
Finalement :
lim⁡x→+∞1x+5−x=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }=+\infty