x→−∞lim3x+5x→−∞lim2x+1==+∞+∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ 1ère méthode : On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x. Il vient : x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞limx(x2x+1)x(x3x+5) x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞limx(x2x+x1)x(x3x+x5) x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞limx(2+x1)x(3+x5) . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x . x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞lim2+x13+x5 Ainsi : x→−∞lim3+x5x→−∞lim2+x1==32} par quotient :
x→−∞lim2x+13x+5=23
2ème méthode :
Au voisinage de +∞ et de −∞ , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
Autrement dit, à l'aide d'un exemple : x→+∞lim5x4−3x6+2x3−x+1=x→+∞lim−3x6=−∞. En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1 est −3x6.
Ainsi : x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞lim2x3x=x→−∞lim23=23 . Vous ne pouvez utiliser la méthode 2 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 1.
Question 2
x→+∞limx2+x2x−1
Correction
x→+∞lim2x−1x→+∞limx2+x==+∞+∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ 1ère méthode : On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x2. Il vient : x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx2(x2x2+x)x(x2x−1) x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx2(x2x2+x2x)x(x2x−x1) x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx2(1+x1)x(2−x1) . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x . x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx(1+x1)2−x1 Ainsi : x→+∞lim2−x1x→+∞limx(1+x1)==2+∞} par quotient :
x→+∞limx2+x2x−1=0
On rappelle que : ∞Nombre=0.
2ème méthode :
Au voisinage de +∞ et de −∞ , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
Autrement dit, à l'aide d'un exemple : x→+∞lim5x4−3x6+2x3−x+1=x→+∞lim−3x6=−∞. En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1 est −3x6.
Ainsi : x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx22x=x→+∞limx2=0 . Vous ne pouvez utiliser la méthode 2 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 1.
Question 3
x→−∞limx+13x2−x
Correction
x→−∞lim3x2−xx→−∞limx+1==+∞−∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ 1ère méthode : On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x2 et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x. Il vient : x→−∞limx+13x2−x=x→−∞limx(xx+1)x2(x23x2−x) x→−∞limx+13x2−x=x→−∞limx(xx+x1)x2(x23x2−x2x) x→−∞limx+13x2−x=x→−∞limx(1+x1)x2(3−x1) . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x . x→−∞limx+13x2−x=x→−∞lim1+x1x(3−x1) Ainsi : x→−∞limx(3−x1)x→−∞lim1+x1==−∞1} par quotient :
x→−∞limx+13x2−x=−∞
On rappelle que : ∞Nombre=0.
2ème méthode :
Au voisinage de +∞ et de −∞ , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
Autrement dit, à l'aide d'un exemple : x→+∞lim5x4−3x6+2x3−x+1=x→+∞lim−3x6=−∞. En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1 est −3x6.
Ainsi : x→−∞limx+13x2−x=x→−∞limx3x2=x→−∞lim13x=−∞ . Vous ne pouvez utiliser la méthode 2 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 1.
Question 4
x→+∞limx2+x+1x2+3
Correction
x→+∞limx2+3x→+∞limx2+x+1==+∞+∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ 1ère méthode : On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x2 et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x2. Il vient : x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞limx2(x2x2+x+1)x2(x2x2+3) x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞limx2(x2x2+x2x+x21)x2(x2x2+x23) x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞limx2(1+x1+x21)x2(1+x23) . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x2 . x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞lim1+x1+x211+x23 Ainsi : x→+∞lim1+x23x→+∞lim1+x1+x21==11} par quotient :
x→+∞limx2+x+1x2+3=1
2ème méthode :
Au voisinage de +∞ et de −∞ , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
Autrement dit, à l'aide d'un exemple : x→+∞lim5x4−3x6+2x3−x+1=x→+∞lim−3x6=−∞. En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1 est −3x6.
Ainsi : x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞limx2x2=x→+∞lim11=1 . Vous ne pouvez utiliser la méthode 2 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 1.
Question 5
x→−∞limx4+2x3+13x3+5x
Correction
x→−∞lim3x3+5xx→−∞limx4+2x3+1==−∞+∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ 1ère méthode : On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x3 et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par x4. Il vient : x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx4(x4x4+2x3+1)x3(x33x3+5x) x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx4(x4x4+x42x3+x41)x3(x33x3+x35x) x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx4(1+x2+x41)x3(3+x25) . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x3 . x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx(1+x2+x41)3+x25 Ainsi : x→−∞lim3+x25x→−∞limx(1+x2+x41)==3−∞} par quotient :
x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=0
2ème méthode :
Au voisinage de +∞ et de −∞ , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
Autrement dit, à l'aide d'un exemple : x→+∞lim5x4−3x6+2x3−x+1=x→+∞lim−3x6=−∞. En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1 est −3x6.
Ainsi : x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx43x3=x→−∞limx3=0 . Vous ne pouvez utiliser la méthode 2 que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode 1.
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