Les asymptotes : Comment les reconnaître - Exercice 1

$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2}{x+1} =0$$
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$-\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{2x+1}+4 =4$$
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=4$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +4x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$1$$^ère méthode : On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x$$ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x^{2}$$.
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-2}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{3x-2}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +4x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-2}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{3x}{x} -\frac{2}{x} }{x\left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{4x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-2}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3-\frac{2}{x} }{x\left(1+\frac{4}{x} \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-\frac{2}{x} } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(1+\frac{4}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient :
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.
$$2$$^ème méthode : Ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-2}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x}{x^{2} }=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x}=0$$ . Vous ne pouvez utiliser la méthode $$2$$ que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode $$1$$.
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2}-4x+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$1$$^ère méthode : On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x^{2}$$ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par $$x^{2}$$.
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2}-x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} -x+1}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2}-x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{\left(\frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2} } \right)}{\left(\frac{x^{2} -x+1}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2}-x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{\frac{2x^{2} }{x^{2} } -\frac{4x}{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} }}{\frac{x^{2} }{x^{2} } -\frac{x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } }$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2}-x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2-\frac{4}{x} +\frac{3}{x^{2} }}{1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2-\frac{4}{x} +\frac{3}{x^{2} }} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ par quotient :
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$-\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$.
$$2$$^ème méthode : Ainsi : $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2}-x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2x^{2}}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2}{1}=2$$ . Vous ne pouvez utiliser la méthode $$2$$ que si votre professeur l'accepte. Sinon, il vous faudra rédiger la méthode $$1$$.
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$-\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$.

Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty }81+\frac{1}{x}$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty } 81+\frac{1}{x} =81$$
On pose $$X=81+\frac{1}{x}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$+\infty$$ alors $$X$$ tend vers $$81$$.
Or : $$\lim\limits_{x\to 81} \sqrt{X }=\sqrt{81}=9$$
Par composition :
La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=9$$.