Fonctions : continuité et dérivation

Les dérivées composées - Exercice 2

15 min
20
Dérivées avec les puissances.
Question 1
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.

f(x)=(3x+2)4f\left(x\right)=\left(3x+2\right)^{4}

Correction

(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=3x+2u\left(x\right)=3x+2 et n=4n=4. Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
Il en résulte que :
f′(x)=4×3×(3x+2)3f'\left(x\right)=4\times 3\times \left(3x+2\right)^{3}
Finalement :
f′(x)=12(3x+2)3f'\left(x\right)=12\left(3x+2\right)^{3}
Question 2

f(x)=5(−2x+1)6f\left(x\right)=5\left(-2x+1\right)^{6}

Correction

(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=−2x+1u\left(x\right)=-2x+1 et n=6n=6. Ainsi u′(x)=−2u'\left(x\right)=-2.
Il en résulte que :
f′(x)=5×6×(−2)×(−2x+1)5f'\left(x\right)=5\times 6\times \left(-2\right)\times \left(-2x+1\right)^{5}
Finalement :
f′(x)=−60(−2x+1)5f'\left(x\right)=-60\left(-2x+1\right)^{5}
Question 3

f(x)=3(2x2+5x+2)7f\left(x\right)=3\left(2x^{2}+5x+2\right)^{7}

Correction

(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=2x2+5x+2u\left(x\right)=2x^{2}+5x+2 et n=7n=7. Ainsi u′(x)=4x+5u'\left(x\right)=4x+5.
Il en résulte que :
f′(x)=3×7×(4x+5)×(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=3\times 7\times \left(4x+5\right)\times \left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
f′(x)=21×(4x+5)×(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=21\times \left(4x+5\right)\times \left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
Finalement :
f′(x)=(84x+105)(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=\left(84x+105\right)\left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
Question 4

f(x)=1(8x−6)4f\left(x\right)=\frac{1}{\left(8x-6\right)^{4} }

Correction

1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On peut écrire ff sous la forme f(x)=(8x−6)−4f\left(x\right)=\left(8x-6\right)^{-4} car : 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=8x−6u\left(x\right)=8x-6 et n=−4n=-4. Ainsi u′(x)=8u'\left(x\right)=8.
Il en résulte que :
f′(x)=(−4)×8×(8x−6)−5f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times 8\times \left(8x-6\right)^{-5}
f′(x)=−32×(8x−6)−5 f'\left(x\right)=-32\times \left(8x-6\right)^{-5}
Finalement :
f′(x)=−32(8x−6)5f'\left(x\right)=\frac{-32}{\left(8x-6\right)^{5} }
Question 5

f(x)=4(2x+1)3f\left(x\right)=\frac{4}{\left(2x+1\right)^{3} }

Correction

1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On peut écrire ff sous la forme f(x)=4(2x+1)−3f\left(x\right)=4\left(2x+1\right)^{-3} car : 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=2x+1u\left(x\right)=2x+1 et n=−3n=-3. Ainsi u′(x)=2u'\left(x\right)=2.
Il en résulte que :
f′(x)=4×(−3)×2×(2x+1)−4f'\left(x\right)=4\times \left(-3\right)\times 2\times \left(2x+1\right)^{-4}
f′(x)=−24×(2x+1)−4 f'\left(x\right)=-24\times \left(2x+1\right)^{-4}
Finalement :
f′(x)=−24(2x+1)4f'\left(x\right)=\frac{-24}{\left(2x+1\right)^{4} }
Question 6

f(x)=cos⁡3(x)f\left(x\right)=\cos ^{3} \left(x\right)

Correction

(cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On peut écrire ff sous la forme f(x)=(cos⁡(x))3f\left(x\right)=\left(\cos \left(x\right)\right)^{3}
On reconnait ici unu^{n} où u(x)=cos⁡(x)u\left(x\right)=\cos \left(x\right) et n=3n=3. Ainsi u′(x)=−sin⁡(x)u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
Il en résulte que :
f′(x)=3×(−sin⁡(x))×(cos⁡(x))2f'\left(x\right)=3\times \left(-\sin \left(x\right)\right)\times \left(\cos \left(x\right)\right)^{2}
Finalement :
f′(x)=−3sin⁡(x)×(cos⁡(x))2f'\left(x\right)=-3\sin \left(x\right)\times \left(\cos \left(x\right)\right)^{2}

Question 7

f(x)=(6x3−5x2+7)9f\left(x\right)=\left(6x^{3}-5x^{2}+7\right)^{9}

Correction

(un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=6x3−5x2+7u\left(x\right)=6x^{3}-5x^{2}+7 et n=9n=9. Ainsi u′(x)=18x2−10xu'\left(x\right)=18x^{2}-10x.
Il en résulte que :
f′(x)=9×(18x2−10x)×(6x3−5x2+7)8f'\left(x\right)=9\times \left(18x^{2} -10x\right)\times \left(6x^{3} -5x^{2} +7\right)^{8}
Finalement :
f′(x)=(162x2−90x)×(6x3−5x2+7)8f'\left(x\right)=\left(162x^{2} -90x\right)\times \left(6x^{3} -5x^{2} +7\right)^{8}