Intervalle de fluctuation - Exercice 9

L’échantillon est de taille $$n =1720$$, la proportion supposée de client satisfait dans la population est $$p=0,88$$.
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

• $$1720\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$1720\times 0,88=1513,6$$ donc $$np\ge 5$$
• $$1720\times \left(1-0,88\right)=206,4$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,88-1,96\times \frac{\sqrt{0,88\times \left(1-0,88\right)} }{\sqrt{1720} } ;0,88+1,96\times \frac{\sqrt{0,88\times \left(1-0,88\right)} }{\sqrt{1720} } \right]$$
$$I=\left[0,864;0,896\right]$$.
Ici $$0,864$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,88-1,96\times \frac{\sqrt{0,88\times \left(1-0,88\right)} }{\sqrt{1720} }$$
Ici $$0,896$$ est une valeur approchée par excès de $$0,88+1,96\times \frac{\sqrt{0,88\times \left(1-0,88\right)} }{\sqrt{1720} }$$
De plus, la fréquence observée de personnes satisfaites sur l’échantillon est $$f_{obs}=\frac{1520}{1720}\approx0,883$$
Or $$f_{obs} \in \left[0,831;0,869\right]$$. Donc on ne peut pas raisonnablement mettre en doute les affirmations de ce gérant.