Intervalle de confiance - Exercice 3

Dans l'exercice, nous avons $$f_{obs} =\frac{52}{100}$$ donc $$f_{obs} =0,52$$.

• Or $$n=100\ge 30$$
• $$100\times 0,52=52$$ donc $$n\times f_{obs} \ge 5$$
• $$100\times \left(1-0,52\right)=48$$ donc $$n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance.
Il vient alors :
$$I=\left[0,52-\frac{1}{\sqrt{100} } ;0,52+\frac{1}{\sqrt{100} } \right]$$ donc $$I=\left[0,42;0,62\right]$$
Ici $$0,42$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,52-\frac{1}{\sqrt{100} }$$
Ici $$0,62$$ est une valeur approchée par excès de $$0,52+\frac{1}{\sqrt{100} }$$
La proportion $$p$$ de boules blanches dans l'urne est dans l'intervalle $$\left[0,42;0,62\right]$$ avec un niveau de confiance de $$95\%$$.

Nous devons résoudre l'inéquation $$\frac{2}{\sqrt{n} } \le 0,02$$.
Ainsi :
$$\frac{2}{\sqrt{n} } \le 0,02$$ équivaut successivement à
$$\frac{\sqrt{n} }{2} \ge \frac{1}{0,02}$$
$$\sqrt{n} \ge \frac{2}{0,02}$$
$$n\ge \left(\frac{2}{0,02} \right)^{2}$$
Finalement $$n\ge 10000$$
Il faudrait, au minimum, effectuer $$10000$$ tirages pour obtenir un intervalle de confiance à $$95\%$$ de longueur inférieur ou égale à $$0,02$$.