Estimation et intervalles

Exercices types : 11ère< partie - Exercice 2

25 min
40
La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d’assistance téléphonique : le client doit d’abord signaler s’il est client Internet ou s’il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur.
Les parties AA, BB et CC sont indépendantes. Si nécessaire, les résultats seront arrondis à 10−310^{-3} près.
Question 1
Partie A : Durée d’attente.
Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client Internet lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. Une étude permet de modéliser cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D1D_{1} qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,60,6.

Quelle est la durée d’attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d’assistance?

Correction
D1D_{1} suit la loi exponentielle de paramètre λ=0,6\lambda=0,6.
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda alors son espérance mathématique vaut :
  • E(X)=1λE\left( X\right)=\frac{1}{\lambda}
On sait que l'espérance correspond à la moyenne.
Ainsi : E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda } , il vient alors que : 1λ=0,6⇔\frac{1}{\lambda } =0,6\Leftrightarrow
λ=10,6=53\lambda =\frac{1}{0,6}=\frac{5}{3}

Donc la durée moyenne d’attente espérée par un client internet est de 11 minute et 4040 secondes.
Question 2

Calculer la probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 55 minutes.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel, on a :
P(D1≤5)=1−e−0,6×5P\left(D_{1} \le 5\right)=1-e^{-0,6\times 5}
P(D1≤5)=1−e−3P\left(D_{1} \le 5\right)=1-e^{-3}
Ainsi :
P(D1≤5)≈0,95P\left(D_{1} \le 5\right)\approx 0,95

Question 3
Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client mobile lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D2D_{2} qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda, λ\lambda étant un réel strictement positif.

Sachant que P(D2≤4)=0,798P\left(D_{2}\le 4\right)=0,798, déterminer la valeur de λ\lambda.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
P(D2≤4)=P(0≤D2≤4)=∫04λe−λxdx=[−e−λx]04=1−e−4λP\left(D_{2}\le 4\right)=P\left(0\le D_{2}\le 4\right)=\int _{0}^{4}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{4} =1-e^{-4\lambda }
Or : P(D2≤4)=0,798P\left(D_{2}\le 4\right)=0,798
Nous devons alors résoudre : 1−e−4λ=0,7981-e^{-4\lambda } =0,798
1−e−4λ=0,7981-e^{-4\lambda } =0,798 équivaut successivement à
−e−4λ=0,798−1-e^{-4\lambda } =0,798-1
−e−4λ=−0,202-e^{-4\lambda } =-0,202
e−4λ=0,202e^{-4\lambda } =0,202
ln⁡(e−4λ)=ln⁡(0,202)\ln \left(e^{-4\lambda } \right)=\ln \left(0,202\right)
−4λ=ln⁡(0,202)-4\lambda =\ln \left(0,202\right)
λ=ln⁡(0,202)−4\lambda =\frac{\ln \left(0,202\right)}{-4}
Finalement :
λ≈0,4\lambda\approx 0,4
Question 4

En prenant λ=0,4\lambda=0,4, peut-on considérer que moins de 10%10\% des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 55 minutes avant de joindre un opérateur?

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
Il nous faut donc calculer : P(D2≥5)P\left(D_{2}\ge 5\right). D'après le rappel, nous avons :
P(D2≥5)=e−0,4×5P\left(D_{2}\ge 5\right)=e^{-0,4\times5}
P(D2≥5)=e−2P\left(D_{2}\ge 5\right)=e^{-2}
P(D2≥5)≈0,135P\left(D_{2}\ge 5\right)\approx0,135

Donc on peut considérer qu’au moins 10%10\% des clients mobile attendent plus de 55 minutes.
Question 5
Partie B : Obtention d’un opérateur.
Si la durée d’attente avant l’obtention d’un opérateur dépasse 55 minutes, l’appel prend automatiquement fin. Sinon, l’appelant obtient un opérateur. On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d’assistance. On admet que la probabilité que l’appel émane d’un client Internet est 0,70,7. De plus :
  • Si l’appel provient d’un client Internet alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,950,95.
  • Si l’appel provient d’un client mobile alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,870,87.

Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur.

Correction
On nomme les évènements suivants :
  • II : «Le client qui appelle est un client internet»
  • MM : «Le client qui appelle est un client mobile»
  • OO : «Le client obtient un opérateur»
Avec les données de l'énoncé, nous traduisons l'arbre pondéré ci-dessous :
Ici, il nous faut calculer P(O)P\left(O\right)
II et MM forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(O)=P(I∩O)+P(M∩O)P\left(O\right)=P\left(I\cap O\right)+P\left(M\cap O\right)
P(O)=P(I)×PI(O)+P(M)×PM(O)P\left(O\right)=P\left(I\right)\times P_{I} \left(O\right)+P\left(M\right)\times P_{M} \left(O\right)
Soit : P(O)=0,7×0,95+0,3×0,87P\left(O\right)=0,7\times 0,95 +0,3\times 0,87
Ainsi :
P(O)=0,926P\left(O\right)=0,926

Donc la probabilité que le client obtienne un opérateur est d’environ 0,9260,926.
Question 6

Un client se plaint que son appel a pris fin après 55 minutes d’attente sans avoir obtenu d’opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile?

Correction
Il nous faut ici calculer : PO‾(I)P_{\overline{O}} \left(I\right) et PO‾(M)P_{\overline{O}} \left(M\right)
D'une part :
PO‾(I)=P(I∩O‾)P(O‾)P_{\overline{O}} \left(I\right)=\frac{P\left(I\cap \overline{O}\right)}{P\left(\overline{O}\right)}
PO‾(I)=P(I∩O‾)1−P(O)P_{\overline{O}} \left(I\right)=\frac{P\left(I\cap \overline{O}\right)}{1-P\left(O\right)}
PO‾(I)=0,7×0,051−0,926P_{\overline{O}} \left(I\right)=\frac{0,7\times 0,05}{1-0,926}
Ainsi :
PO‾(I)≈0,473P_{\overline{O}} \left(I\right)\approx 0,473

D'autre part :
PO‾(M)=P(M∩O‾)P(O‾)P_{\overline{O}} \left(M\right)=\frac{P\left(M\cap \overline{O}\right)}{P\left(\overline{O}\right)}
PO‾(M)=P(M∩O‾)1−P(O)P_{\overline{O}} \left(M\right)=\frac{P\left(M\cap \overline{O}\right)}{1-P\left(O\right)}
PO‾(M)=0,3×0,131−0,926P_{\overline{O}} \left(M\right)=\frac{0,3\times 0,13}{1-0,926}
Ainsi :
PO‾(M)≈0,527P_{\overline{O}} \left(M\right)\approx 0,527

Il est donc plus probable que le client soit un client mobile.
Question 7
Partie C : Enquête de satisfaction.
La société annonce un taux de satisfaction de 85%85\% pour ses clients ayant appelé et obtenu un opérateur. Une association de consommateurs souhaite vérifier ce taux et interroge 13031303 personnes. Parmi celles-ci, 11501150 se disent satisfaites.

Que pensez-vous du taux de satisfaction annoncé par la société?

Correction
L’échantillon est de taille n=1303n =1303, la proportion supposée de client satisfait dans la population est p=0,85p=0,85.
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
  • 1303≥301303\ge 30 donc n≥30n\ge 30
  • 1303×0,85=1107,551303\times 0,85=1107,55 donc np≥5np\ge 5
  • 1303×(1−0,85)=195,451303\times \left(1-0,85\right)=195,45 donc n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
On a alors :
I=[p−1,96×p×(1−p)n;p+1,96×p×(1−p)n]I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
I=[0,85−1,96×0,85×(1−0,85)1303;0,85+1,96×0,85×(1−0,85)1303]I=\left[0,85-1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{1303} } ;0,85+1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{1303} } \right]
I=[0,831;0,869]I=\left[0,831;0,869\right].
Ici 0,8310,831 est une valeur approchée par défaut de 0,85−1,96×0,85×(1−0,85)13030,85-1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{1303} }
Ici 0,8690,869 est une valeur approchée par excès de 0,85+1,96×0,85×(1−0,85)13030,85+1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{1303} }
De plus, la fréquence observée de personnes satisfaites sur l’échantillon est fobs=11501303≈0,883f_{obs}=\frac{1150}{1303}\approx0,883
Or fobs∉[0,831;0,869]f_{obs} \notin \left[0,831;0,869\right]. On peut donc remettre en cause l’affirmation de la société au risque de 5%5\% de se tromper.