Suites et matrices : chaînes de Markov

Savoir déterminer l'état stable : utilisation de la calculatrice - Exercice 2

8 min
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Question 1
Pour tout entier naturel nn, soit la suite (Un)\left(U_{n}\right) définie par :
{U0=(12)Un+1=AUn+B\left\{\begin{array}{ccc} {U_{0} } & {=} & {\left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)} \\ {U_{n+1} } & {=} & {AU_{n} +B} \end{array}\right. avec A=(3112)A=\left(\begin{array}{cc} {3} & {1} \\ {1} & {2} \end{array}\right) et B=(10)B=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)

Calculer I2−AI_2-A et justifier que I2−AI_2-A est inversible.

Correction
Premieˋrement :\blue{\text{Premièrement :}}
I2−A=(1001)−(3112)I_{2} -A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {3} & {1} \\ {1} & {2} \end{array}\right)
I2−A=(−2−1−1−1)I_{2} -A=\left(\begin{array}{cc} {-2} & {-1} \\ {-1} & {-1} \end{array}\right)

Deuxieˋmement :\blue{\text{Deuxièmement :}}
det⁡(I2−A)=(−2)×(−1)−(−1)×(−1)\det \left(I_{2} -A\right)=\left(-2\right)\times \left(-1\right)-\left(-1\right)\times \left(-1\right)
det⁡(I2−A)=3\det \left(I_{2} -A\right)=3

Comme det⁡(I2−A)≠0\det \left(I_{2} -A\right)\ne 0 alors la matrice I2−AI_{2} -A est inversible\red{\text{inversible}}.
Question 2

En déduire qu'il existe un état stable notée EE .

Correction
Soient nn et pp deux entiers naturels et IpI_p la matrice identité d'ordre pp.
Soit la suite de matrices colonnes (Un)\left(U_{n}\right) définie par : {U0Un+1=AUn+B\left\{\begin{array}{ccc} {U_{0} } & {} & {} \\ {U_{n+1} } & {=} & {AU_{n} +B} \end{array}\right. avec AA une matrice carrée d'ordre pp et BB une matrice colonne avec pp lignes.
On appelle eˊtat stable\red{\text{état stable}} de la suite (Un)\left(U_{n}\right) une matrice colonne EE (ayant pp lignes) tel que : E=AE+BE=AE+B.
Si la matrice Ip−AI_p-A est inversible alors il existe un état stable EE tel que : E=(Ip−A)−1×B\red{E=\left(I_{p} -A\right)^{-1} \times B}
Comme la matrice I2−AI_2-A est inversible alors il existe un état stable EE tel que : E=(I2−A)−1×B\red{E=\left(I_{2} -A\right)^{-1} \times B}
Question 3

A l'aide de la calculatrice donnée l'état stable EE .

Correction
Soient nn et pp deux entiers naturels et IpI_p la matrice identité d'ordre pp.
Soit la suite de matrices colonnes (Un)\left(U_{n}\right) définie par : {U0Un+1=AUn+B\left\{\begin{array}{ccc} {U_{0} } & {} & {} \\ {U_{n+1} } & {=} & {AU_{n} +B} \end{array}\right. avec AA une matrice carrée d'ordre pp et BB une matrice colonne avec pp lignes.
On appelle eˊtat stable\red{\text{état stable}} de la suite (Un)\left(U_{n}\right) une matrice colonne EE (ayant pp lignes) tel que : E=AE+BE=AE+B.
Si la matrice Ip−AI_p-A est inversible alors il existe un état stable EE tel que : E=(Ip−A)−1×B\red{E=\left(I_{p} -A\right)^{-1} \times B}
Nous savons que l'état stable EE est obtenue à l'aide de la formule E=(I2−A)−1×BE=\left(I_{2} -A\right)^{-1} \times B
D'après la calculatrice, on obtient :
E=(−11)E=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right)