Suites et matrices : chaînes de Markov

Savoir déterminer l'état stable : utilisation de la calculatrice

Exercice 1

Pour tout entier naturel nn, soit la suite (Un)\left(U_{n}\right) définie par :
{U0=(0,90,1)Un+1=AUn+B\left\{\begin{array}{ccc} {U_{0} } & {=} & {\left(\begin{array}{c} {0,9} \\ {0,1} \end{array}\right)} \\ {U_{n+1} } & {=} & {AU_{n} +B} \end{array}\right. avec A=(0,60,30,150,85)A=\left(\begin{array}{cc} {0,6} & {0,3} \\ {0,15} & {0,85} \end{array}\right) et B=(0,20,1)B=\left(\begin{array}{c} {0,2} \\ {0,1} \end{array}\right)
1

Calculer I2AI_2-A et justifier que I2AI_2-A est inversible.

Correction
2

En déduire qu'il existe un état stable notée EE .

Correction
3

A l'aide de la calculatrice donnée l'état stable EE .

Correction

Exercice 2

Pour tout entier naturel nn, soit la suite (Un)\left(U_{n}\right) définie par :
{U0=(12)Un+1=AUn+B\left\{\begin{array}{ccc} {U_{0} } & {=} & {\left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)} \\ {U_{n+1} } & {=} & {AU_{n} +B} \end{array}\right. avec A=(3112)A=\left(\begin{array}{cc} {3} & {1} \\ {1} & {2} \end{array}\right) et B=(10)B=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)
1

Calculer I2AI_2-A et justifier que I2AI_2-A est inversible.

Correction
2

En déduire qu'il existe un état stable notée EE .

Correction
3

A l'aide de la calculatrice donnée l'état stable EE .

Correction

Exercice 3

Faire la m^me chose avec une matrice carrée d'ordre 3
1

f

Correction
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