Problèmes : marche aléatoire sur un graphe et modèle d'Ehrenfest - Exercice 1

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Un robot se déplace sur les sommets d'un triangle ABCABC . À chaque étape, il quitte le sommet où il se trouve et rejoint l'un des deux autres sommets, choisi au hasard. Le robot part du sommet AA .
Pour tout entier naturel nn , on note πn=(anbncn)\pi_{n}=\left(\begin{array}{ccc} {a_{n}} & {b_{n}} & {c_{n}} \end{array}\right) la distribution après nn étapes : ana_{n} est la probabilité que le robot soit en AA après nn étapes.
Question 1

Représenter la situation par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition PP (états rangés dans l'ordre AA , BB , CC).

Correction
Depuis chaque sommet, le robot rejoint chacun des deux autres sommets avec une probabilité de 0,50{,}5 et ne reste jamais sur place. On obtient le graphe probabiliste suivant :

Finalement :
P=(00,50,50,500,50,50,50)P=\left(\begin{array}{ccc} {\red{0}} & {\red{0{,}5}} & {\red{0{,}5}} \\ {\blue{0{,}5}} & {\blue{0}} & {\blue{0{,}5}} \\ {\green{0{,}5}} & {\green{0{,}5}} & {\green{0}} \end{array}\right)

Question 2

Démontrer que la distribution π=(131313)\pi=\left(\begin{array}{ccc} {\dfrac{1}{3}} & {\dfrac{1}{3}} & {\dfrac{1}{3}} \end{array}\right) est invariante.

Correction
Une distribution π\pi (matrice ligne dont les coefficients sont positifs ou nuls et de somme égale à 11) est dite invariante\red{\text{invariante}} si :
π×P=π\pi\times P=\pi
Chaque colonne de PP contient deux coefficients égaux à 0,50{,}5 et un coefficient nul. Chaque coefficient de π×P\pi\times P vaut donc :
13×0+13×0,5+13×0,5=13\dfrac{1}{3}\times 0+\dfrac{1}{3}\times 0{,}5+\dfrac{1}{3}\times 0{,}5=\dfrac{1}{3}
Ainsi :
π×P=π\pi\times P=\pi

La distribution π\pi est donc invariante.
Question 3

Démontrer que, pour tout entier naturel nn , an+1=0,5(1−an)a_{n+1}=0{,}5\left(1-a_{n}\right) .

Correction
Pour tout entier naturel nn , πn+1=πn×P\pi_{n+1}=\pi_{n}\times P . Le premier coefficient de πn+1\pi_{n+1} est donc :
an+1=an×0+bn×0,5+cn×0,5a_{n+1}=\red{a_{n}}\times 0+\blue{b_{n}}\times 0{,}5+\green{c_{n}}\times 0{,}5
an+1=0,5(bn+cn)a_{n+1}=0{,}5\left(b_{n}+c_{n}\right)
Or an+bn+cn=1a_{n}+b_{n}+c_{n}=1 , donc bn+cn=1−anb_{n}+c_{n}=1-a_{n} .
Finalement :
an+1=0,5(1−an)a_{n+1}=0{,}5\left(1-a_{n}\right)

Autrement dit : pour être en AA à l'étape n+1n+1 , le robot doit être en BB ou en CC à l'étape nn , puis choisir AA .
Question 4

Pour tout entier naturel nn , on pose vn=an−13v_{n}=a_{n}-\dfrac{1}{3} . Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est géométrique de raison −0,5-0{,}5 , puis exprimer ana_{n} en fonction de nn .

Correction
1eˋre eˊtape :\red{\text{1}^{\text{ère}}\text{ étape :}} exprimons vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_{n} .
vn+1=an+1−13v_{n+1}=a_{n+1}-\dfrac{1}{3}
vn+1=0,5−0,5an−13v_{n+1}=0{,}5-0{,}5a_{n}-\dfrac{1}{3}
vn+1=−0,5an+16v_{n+1}=-0{,}5a_{n}+\dfrac{1}{6}
vn+1=−0,5(an−13)v_{n+1}=-0{,}5\left(a_{n}-\dfrac{1}{3}\right)
vn+1=−0,5vnv_{n+1}=-0{,}5v_{n}
La suite (vn)\left(v_{n}\right) est donc geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison −0,5-0{,}5 , de premier terme v0=a0−13=1−13=23v_{0}=a_{0}-\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} .
2eˋme eˊtape :\red{\text{2}^{\text{ème}}\text{ étape :}} l'expression de ana_{n} .
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} . Alors, pour tout entier naturel nn , on a : un=u0×qnu_{n}=u_{0}\times q^{n}
Pour tout entier naturel nn , vn=23×(−0,5)nv_{n}=\dfrac{2}{3}\times \left(-0{,}5\right)^{n} et an=vn+13a_{n}=v_{n}+\dfrac{1}{3} .
Finalement :
an=13+23×(−0,5)na_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times \left(-0{,}5\right)^{n}

Question 5

Déterminer la limite de la suite (an)\left(a_{n}\right) et interpréter ce résultat.

Correction
  • Si −1<q<1-1\lt q\lt 1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q \gt 1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<−0,5<1-1\lt -0{,}5\lt 1 alors lim⁡n→+∞(−0,5)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-0{,}5\right)^{n} =0 , d'où :
lim⁡n→+∞an=13\lim\limits_{n\to +\infty } a_{n} =\dfrac{1}{3}

À long terme, le robot se trouve en AA avec une probabilité proche de 13\dfrac{1}{3} (et de même en BB et en CC) : la distribution πn\pi_{n} se rapproche de la distribution invariante π\pi .

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