Modéliser une situation par une chaîne de Markov à deux ou trois états - Exercice 1

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Dans une région, on a observé que :
  • s'il fait beau un jour, il fait beau le lendemain avec une probabilité de 0,70{,}7 ;
  • s'il fait mauvais un jour, il fait mauvais le lendemain avec une probabilité de 0,40{,}4 .
On note BB l'état « il fait beau » et MM l'état « il fait mauvais ». Le jour 00 , il fait beau. Pour tout entier naturel nn , on note πn\pi_{n} la distribution du temps le jour nn .
Question 1

Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

Correction
S'il fait beau un jour, il fait beau le lendemain avec une probabilité de 0,70{,}7 , donc il fait mauvais le lendemain avec une probabilité de 1−0,7=0,31-0{,}7=0{,}3 .
S'il fait mauvais un jour, il fait mauvais le lendemain avec une probabilité de 0,40{,}4 , donc il fait beau le lendemain avec une probabilité de 1−0,4=0,61-0{,}4=0{,}6 .
On obtient le graphe probabiliste suivant :
Question 2

Donner la matrice de transition PP de cette chaîne de Markov, les états étant rangés dans l'ordre BB , MM .

Correction
Soit une chaîne de Markov à pp états. Sa matrice de transition\red{\text{matrice de transition}} PP est la matrice carrée d'ordre pp dont le coefficient de la ligne ii et de la colonne jj est la probabilité de passer de l'état ii à l'état jj en une transition.
Tous ses coefficients sont positifs ou nuls et la somme des coefficients de chaque ligne vaut 11 .
La première ligne correspond aux transitions depuis l'état BB et la deuxième ligne aux transitions depuis l'état MM . On lit les poids sur le graphe.
Finalement :
P=(0,70,30,60,4)P=\left(\begin{array}{cc} {\pink{0{,}7}} & {\orange{0{,}3}} \\ {\blue{0{,}6}} & {\red{0{,}4}} \end{array}\right)

Question 3

Donner la distribution initiale π0\pi_{0} .

Correction
Le jour 00 , il fait beau : la probabilité d'être dans l'état BB est égale à 11 et celle d'être dans l'état MM est égale à 00 .
Ainsi :
π0=(10)\pi_{0}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \end{array}\right)

Question 4

Interpréter le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de la matrice PP .

Correction
Le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de PP vaut 0,6\blue{0{,}6} . C'est la probabilité de passer de l'état MM à l'état BB en une transition.
Autrement dit :
s'il fait mauvais un jour, la probabilité qu'il fasse beau le lendemain est égale à 0,60{,}6

Question 5

Calculer π1\pi_{1} et interpréter le résultat.

Correction
Soit une chaîne de Markov de matrice de transition PP et de distribution initiale π0\pi_{0} . Pour tout entier naturel nn , la distribution après nn transitions est la matrice ligne πn\pi_{n} telle que :
πn+1=πn×P\pi_{n+1}=\pi_{n}\times P et πn=π0×Pn\pi_{n}=\pi_{0}\times P^{n}
Pour n=0n=0 , on a : π1=π0×P\pi_{1}=\pi_{0}\times P
π1=(10)×(0,70,30,60,4)\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}} & {\blue{0}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}7} & {0{,}3} \\ {0{,}6} & {0{,}4} \end{array}\right)
π1=(1×0,7+0×0,61×0,3+0×0,4)\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}\times 0{,}7+\blue{0}\times 0{,}6} & {\red{1}\times 0{,}3+\blue{0}\times 0{,}4} \end{array}\right)
Ainsi :
π1=(0,70,3)\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}7} & {0{,}3} \end{array}\right)

Le jour 11 , il fait beau avec une probabilité de 0,70{,}7 et il fait mauvais avec une probabilité de 0,30{,}3 .

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