Lien entre une chaîne de Markov et distributions - Exercice 1

Nous avons alors :
$$P=\left(\begin{array}{cc} {\pink{0,09}} & {\orange{0,91}} \\ {\blue{0,31}} & {\red{0,69}} \end{array}\right)$$

D'après la calculatrice, nous obtenons :
$$P^{2} =\left(\begin{array}{cc} {0,2902} & {0,7098} \\ {0,2418} & {0,7582} \end{array}\right)$$

Pour déterminer la probabilité de passer de l'état $$A$$ à l'état $$B$$ en deux étapes, il faut tout d'abord calculer $$P^{2}$$ .
A l'aide de la question $$2$$, nous connaissons désormais $$P^{2}$$ .
Il faut maintenant lire dans la matrice $$P^{2}$$ la valeur étant l'intersection entre la première ligne ( en référence à $$A$$ ) et la deuxième colonne ( en référence à $$B$$ ) . En effet, nous voulons passer de l'état $$A$$ à l'état $$B$$ .
Il vient alors que la probabilité est alors de $$\red{0,7098}$$
$$P^{2} =\left(\begin{array}{cc} {0,2902} & {\red{0,7098}} \\ {0,2418} & {0,7582} \end{array}\right)$$

La distribution $$\pi _{2}$$ donnera les probabilités relatives à l'état $$A$$ et à l'état $$B$$ lors de la deuxième étape.
$$\pi _{2} =\pi _{0} \times P^{2}$$
$$\pi _{2} =\left(\begin{array}{cc} {\red{0,3}} & {{\color{blue}{0,7}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {\orange{0,2902}} & {\pink{0,7098}} \\ {\purple{0,2418}} & {0,7582} \end{array}\right)$$
$$\pi _{2} =\left(\begin{array}{cc} {\red{0,3}\times \orange{0,2902}+{\color{blue}{0,7}}\times \purple{0,2418}} & {\red{0,3}\times \pink{0,7098}+{\color{blue}{0,7}}\times 0,7582} \end{array}\right)$$
$$\pi _{2} =\left(\begin{array}{cc} {0,25632} & {0,74368} \end{array}\right)$$
La probabilité qu'à la deuxième étape nous soyons encore à l'état $$A$$ est alors de : $$0,25632$$ . Approximativement, il y a $$25,63\%$$ de chance d'étre à l'état $$A$$ à la deuxième étape.