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Suites et matrices : chaînes de Markov

Lien entre une chaîne de Markov et distributions - Exercice 1

10 min
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  • On définit une chaîne de Markov à deux états AA et BB par le graphe pondéré ci-dessous et de distribution initiale π0=(0,30,7)\pi _{0} =\left(\begin{array}{cc} {0,3} & {0,7} \end{array}\right)
  • Nous pouvons eˊgalement eˊcrire :\purple{\text{Nous pouvons également écrire :}}
  • On considère une marche aléatoire à deux états modélisée par le graphe probabiliste suivant et de distribution initiale π0=(0,30,7)\pi _{0} =\left(\begin{array}{cc} {0,3} & {0,7} \end{array}\right)
  • Question 1

    Donner la matrice de transition PP associé de cette chaîne de Markov.

    Correction
    Nous avons alors :
    P=(0,090,910,310,69)P=\left(\begin{array}{cc} {\pink{0,09}} & {\orange{0,91}} \\ {\blue{0,31}} & {\red{0,69}} \end{array}\right)
    Question 2

    Calculer P2P^{2} à l'aide de la calculatrice.

    Correction
    D'après la calculatrice, nous obtenons :
    P2=(0,29020,70980,24180,7582)P^{2} =\left(\begin{array}{cc} {0,2902} & {0,7098} \\ {0,2418} & {0,7582} \end{array}\right)
    Question 3

    Déterminer la probabilité de passer de l'état AA à l'état BB en deux étapes .

    Correction
    Pour déterminer la probabilité de passer de l'état AA à l'état BB en deux étapes, il faut tout d'abord calculer P2P^{2} .
    A l'aide de la question 22, nous connaissons désormais P2P^{2} .
    Il faut maintenant lire dans la matrice P2P^{2} la valeur étant l'intersection entre la première ligne ( en référence à AA ) et la deuxième colonne ( en référence à BB ) . En effet, nous voulons passer de l'état AA à l'état BB .
    Il vient alors que la probabilité est alors de 0,7098\red{0,7098}
    P2=(0,29020,70980,24180,7582)P^{2} =\left(\begin{array}{cc} {0,2902} & {\red{0,7098}} \\ {0,2418} & {0,7582} \end{array}\right)
    Question 4
    D'après la distribution initiale π0=(0,30,7)\pi _{0} =\left(\begin{array}{cc} {0,3} & {0,7} \end{array}\right) , nous savons que nous avons 30%30\% de chance de démarrer à l'état AA .

    Calculer la probabilité qu'à la deuxième étape nous soyons encore à l'état AA .

    Correction
    La distribution π2\pi _{2} donnera les probabilités relatives à l'état AA et à l'état BB lors de la deuxième étape.
    π2=π0×P2\pi _{2} =\pi _{0} \times P^{2}
    π2=(0,30,7)×(0,29020,70980,24180,7582)\pi _{2} =\left(\begin{array}{cc} {\red{0,3}} & {{\color{blue}{0,7}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {\orange{0,2902}} & {\pink{0,7098}} \\ {\purple{0,2418}} & {0,7582} \end{array}\right)
    π2=(0,3×0,2902+0,7×0,24180,3×0,7098+0,7×0,7582)\pi _{2} =\left(\begin{array}{cc} {\red{0,3}\times \orange{0,2902}+{\color{blue}{0,7}}\times \purple{0,2418}} & {\red{0,3}\times \pink{0,7098}+{\color{blue}{0,7}}\times 0,7582} \end{array}\right)
    π2=(0,256320,74368)\pi _{2} =\left(\begin{array}{cc} {0,25632} & {0,74368} \end{array}\right)
    La probabilité qu'à la deuxième étape nous soyons encore à l'état AA est alors de : 0,256320,25632 . Approximativement, il y a 25,63%25,63\% de chance d'étre à l'état AA à la deuxième étape.