Exercices types : 3ᵉ partie - Suites et matrices : chaînes de Markov - Option mathématiques expertes

Question 1

Un laboratoire étudie la propagation d’une maladie sur une population.
Un individu sain est un individu n’ayant jamais été touché par la maladie.
Un individu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.
Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.
Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.
Les premières observations nous montrent que, d’un jour au jour suivant :

$5\%$ des individus sains tombent malades ;
$20\%$ des individus malades guérissent.

Pour tout entier naturel

n

, on note

a_{n}

la proportion d’individus sains

n

jours après le début de l’expérience,

b_{n}

la proportion d’individus malades

n

jours après le début de l’expérience, et

c_{n}

celle d’individus guéris

n

jours après le début de l’expérience.
On suppose qu’au début de l’expérience, tous les individus sont sains, c’est-à-dire que

a_{0} = 1

,

b_{0} = 0

et

c_{0} = 0

Calculer $a_{1}$ , $b_{1}$ et $c_{1}$ .

Correction

Commençons par représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste : chaque sommet correspond à un état et chaque arête porte la proportion d'individus qui passent d'un état à l'autre d'un jour au jour suivant.

Au début de l'expérience, nous avons

a_{0} = 1

,

b_{0} = 0

et

c_{0} = 0

.
Calcul de $a_{1}$ :
Chaque jour,

5\%

des individus sains tombent malades. Les autres, soit

100\%-5\%=95\%

des individus sains, restent sains. On multiplie donc par le coefficient multiplicateur

1-\dfrac{5}{100}=0{,}95

.

a_{1}=0{,}95\times a_{0}

a_{1}=0{,}95\times 1

d'où :

a_{1}=0{,}95

Calcul de $b_{1}$ :
Les individus malades au jour

1

sont ceux qui sont tombés malades, soit

5\%

des individus sains, et ceux qui étaient malades et n'ont pas guéri, soit

100\%-20\%=80\%

des individus malades.

b_{1}=0{,}05\times a_{0}+0{,}8\times b_{0}

b_{1}=0{,}05\times 1+0{,}8\times 0

d'où :

b_{1}=0{,}05

Calcul de $c_{1}$ :
Les individus guéris au jour

1

sont ceux qui étaient déjà guéris et ceux qui ont guéri, soit

20\%

des individus malades.

c_{1}=c_{0}+0{,}2\times b_{0}

c_{1}=0+0{,}2\times 0

d'où :

c_{1}=0

On vérifie que

a_{1}+b_{1}+c_{1}=0{,}95+0{,}05+0=1

.

Question 2

Quelle est la proportion d’individus sains qui restent sains d’un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ .

Correction

D'un jour au jour suivant,

5\%

des individus sains tombent malades.
Il en résulte que

100\%-5\%=95\%

des individus sains restent sains d'un jour au jour suivant.
Pour tout entier naturel

n

, les individus sains au jour

n+1

sont les individus sains au jour

n

qui ne sont pas tombés malades (un individu malade ou guéri ne redevient jamais sain). On multiplie donc par le coefficient multiplicateur

1-\dfrac{5}{100}=0{,}95

.
Ainsi, pour tout entier naturel

n

, on a :

a_{n+1}=0{,}95\times a_{n}

Question 3

Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et de $b_{n}$ .

Correction

Pour tout entier naturel

n

, les individus malades au jour

n+1

sont :

les individus sains au jour $n$ qui sont tombés malades : $5\%$ de $a_{n}$ , soit $0{,}05\times a_{n}$ ;
les individus malades au jour $n$ qui n'ont pas guéri : $20\%$ des malades guérissent, donc $100\%-20\%=80\%$ restent malades, soit $0{,}8\times b_{n}$ .

Un individu guéri est immunisé : il ne peut plus tomber malade.
Ainsi, pour tout entier naturel

n

, on a :

b_{n+1}=0{,}05a_{n}+0{,}8b_{n}

Question 4

On admet que

c_{n+1} = 0,2b_{n} +c_{n}.

Pour tout entier naturel

n

, on définit

U_{n}=\left(\begin{array}{c} {a_{n}} \\ {b_{n}}\\ {c_{n}} \end{array}\right)

On définit les matrices

A= \left(\begin{array}{ccc} {0,95} & {0} & {0} \\ {0,05} & {0,8} & {0} \\ {0} & {0,2} & {1} \end{array}\right)

et

D= \left(\begin{array}{ccc} {0,95} & {0} & {0} \\ {0} & {0,8} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

On admet qu’il existe une matrice inversible

P

telle que

D = P^{−1} × A × P

et que, pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à

1

,

A^{n} = P ×D^{n} ×P^{−1}

.

Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n+1} =A\times U_{n}.$

Correction

Pour tout entier naturel

n

, calculons

A\times U_{n}

:

A\times U_{n}=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95} & {0} & {0} \\ {0{,}05} & {0{,}8} & {0} \\ {0} & {0{,}2} & {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {a_{n}} \\ {b_{n}} \\ {c_{n}} \end{array}\right)

A\times U_{n}=\left(\begin{array}{c} {0{,}95\times a_{n}+0\times b_{n}+0\times c_{n}} \\ {0{,}05\times a_{n}+0{,}8\times b_{n}+0\times c_{n}} \\ {0\times a_{n}+0{,}2\times b_{n}+1\times c_{n}} \end{array}\right)

A\times U_{n}=\left(\begin{array}{c} {0{,}95a_{n}} \\ {0{,}05a_{n}+0{,}8b_{n}} \\ {0{,}2b_{n}+c_{n}} \end{array}\right)

Or, d'après les questions

2

et

3

et l'énoncé,

\red{a_{n+1}=0{,}95a_{n}}

,

\red{b_{n+1}=0{,}05a_{n}+0{,}8b_{n}}

et

\red{c_{n+1} = 0{,}2b_{n} +c_{n}}

.
Il vient alors que :

A\times U_{n}=\left(\begin{array}{c} {a_{n+1}} \\ {b_{n+1}} \\ {c_{n+1}} \end{array}\right)

Finalement, pour tout entier naturel

n

:

U_{n+1} =A\times U_{n}

Question 5

On admet que, pour tout entier naturel

n

,

U_{n} = A^{n} ×U_{0}.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $D^{n}= \left(\begin{array}{ccc} {0,95^{n}} & {0} & {0} \\ {0} & {0,8^{n}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$

Correction

Pour tout entier naturel

n

non nul, posons la propriété

\mathcal{P}_{n} :D^{n}=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{n}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{n}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

\red{\text{Étape d'initialisation :}}

Pour

n=1

:

D^{1}=D=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

et

\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{1}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{1}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

La propriété

\mathcal{P}_{1}

est vraie.

\red{\text{Étape d'hérédité :}}

On suppose qu'il existe un entier naturel

k

non nul tel que la propriété

\mathcal{P}_{k}

soit vraie c'est-à-dire

D^{k}=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{k}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{k}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

et vérifions si la propriété est également vraie au rang

k+1

c'est-à-dire

D^{k+1}=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{k+1}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{k+1}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

Nous savons que

D^{k+1} =D^{k} \times D

.

D^{k+1} =\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{k}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{k}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{k}\times 0{,}95+0\times 0+0\times 0} & {0{,}95^{k}\times 0+0\times 0{,}8+0\times 0} & {0{,}95^{k}\times 0+0\times 0+0\times 1} \\ {0\times 0{,}95+0{,}8^{k}\times 0+0\times 0} & {0\times 0+0{,}8^{k}\times 0{,}8+0\times 0} & {0\times 0+0{,}8^{k}\times 0+0\times 1} \\ {0\times 0{,}95+0\times 0+1\times 0} & {0\times 0+0\times 0{,}8+1\times 0} & {0\times 0+0\times 0+1\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}}

D^{k+1} =\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{k}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{k}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{k+1}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{k+1}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}}

D^{k+1} =\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{k+1}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{k+1}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

Ainsi la propriété

\mathcal{P}_{k+1}

est vraie.

\red{\text{Conclusion :}}

Puisque la propriété

\mathcal{P}_{1}

est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel

n

non nul, on a

\mathcal{P}_{n}

vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel

n

non nul, on a bien :

D^{n}=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{n}} & {0} & {0} \\ {0} & {0{,}8^{n}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

Question 6

On admet que

A^{n}= \left(\begin{array}{ccc} {0,95^{n}} & {0} & {0} \\ \rule{0pt}{1.9em} {\dfrac{1}{3}(0,95^{n}-0,8^{n})} & {0,8^{n}} & {0} \\ \rule{0pt}{1.9em} {\dfrac{1}{3}(3-4\times0,95^{n}+0,8^{n})} & {1-0,8^{n}} & {1} \end{array}\right)

Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $b_{n}=\dfrac{1}{3}\left(0,95^{n}-0,8^{n}\right)$ .

Correction

Pour tout entier naturel

n

, on a :

U_{n} = A^{n} \times U_{0}

avec

U_{0}=\left(\begin{array}{c} {\blue{1}} \\ {\blue{0}} \\ {\blue{0}} \end{array}\right)

car

a_{0} = 1

,

b_{0} = 0

et

c_{0} = 0

.
Il vient alors que :

\left(\begin{array}{c} {a_{n}} \\ {b_{n}} \\ {c_{n}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}95^{n}} & {0} & {0} \\ \rule{0pt}{1.9em} {\red{\dfrac{1}{3}\left(0{,}95^{n}-0{,}8^{n}\right)}} & {\red{0{,}8^{n}}} & {\red{0}} \\ \rule{0pt}{1.9em} {\dfrac{1}{3}\left(3-4\times 0{,}95^{n}+0{,}8^{n}\right)} & {1-0{,}8^{n}} & {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {\blue{1}} \\ {\blue{0}} \\ {\blue{0}} \end{array}\right)

Le coefficient de la deuxième ligne de

U_{n}

est

b_{n}

. Il est alors égal à :

b_{n}=\red{\dfrac{1}{3}\left(0{,}95^{n}-0{,}8^{n}\right)}\times \blue{1}+\red{0{,}8^{n}}\times \blue{0}+\red{0}\times \blue{0}

Finalement, pour tout entier naturel

n

:

b_{n}=\dfrac{1}{3}\left(0{,}95^{n}-0{,}8^{n}\right)

Question 7

Déterminer la limite de la suite $(b_{n})$ .

Correction

D'après la question précédente, pour tout entier naturel

n

, on a :

b_{n}=\dfrac{1}{3}\left(0{,}95^{n}-0{,}8^{n}\right)

Si $-1\lt q\lt 1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0$ .
Si $q \gt 1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty$ .

Comme

-1\lt 0{,}95\lt 1

alors :

\lim\limits_{n\to +\infty } 0{,}95^{n} =0

Comme

-1\lt 0{,}8\lt 1

alors :

\lim\limits_{n\to +\infty } 0{,}8^{n} =0

D'où :

\lim\limits_{n\to +\infty }\left(0{,}95^{n}-0{,}8^{n}\right)=0

et

\lim\limits_{n\to +\infty }\dfrac{1}{3}\left(0{,}95^{n}-0{,}8^{n}\right)=0

Ainsi :

\lim\limits_{n\to +\infty } b_{n} =0

Cela signifie qu'à long terme, la proportion d'individus malades tend vers

0

: la maladie finit par disparaître de la population.

Exercices types : 3ᵉ partie - Exercice 1

Calculer a1a_{1}a1​, b1b_{1}b1​ et c1c_{1}c1​.

Quelle est la proportion d’individus sains qui restent sains d’un jour au jour suivant ? En déduire an+1a_{n+1}an+1​ en fonction de ana_{n}an​.

Exprimer bn+1b_{n+1}bn+1​ en fonction de ana_{n}an​ et de bnb_{n}bn​.

Vérifier que, pour tout entier naturel nnn, Un+1=A×Un.U_{n+1} =A\times U_{n}.Un+1​=A×Un​.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nnn non nul \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Dn=(0,95n0000,8n0001)D^{n}= \left(\begin{array}{ccc} {0,95^{n}} & {0} & {0} \\ {0} & {0,8^{n}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right) Dn=⎝⎛​0,95n00​00,8n0​001​⎠⎞​

Vérifier que, pour tout entier naturel nnn, bn=13(0,95n−0,8n)b_{n}=\dfrac{1}{3}\left(0,95^{n}-0,8^{n}\right)bn​=31​(0,95n−0,8n).

Déterminer la limite de la suite (bn)(b_{n})(bn​).

Calculer $a_{1}$ , $b_{1}$ et $c_{1}$ .

Quelle est la proportion d’individus sains qui restent sains d’un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ .

Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et de $b_{n}$ .

Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n+1} =A\times U_{n}.$

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $D^{n}= \left(\begin{array}{ccc} {0,95^{n}} & {0} & {0} \\ {0} & {0,8^{n}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$

Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $b_{n}=\dfrac{1}{3}\left(0,95^{n}-0,8^{n}\right)$ .

Déterminer la limite de la suite $(b_{n})$ .