Exercices types : 2ᵉ partie - Suites et matrices : chaînes de Markov - Option mathématiques expertes

Question 1

Un opérateur téléphonique

A\;

souhaite prévoir l’évolution du nombre de ses abonnés dans une grande ville
par rapport à son principal concurrent

B

à partir de

2013.

En

2013

, les opérateurs

A

et

B

ont chacun

300

milliers d’abonnés.
Pour tout entier naturel

n

, on note

a_{n}

le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur

A

la

n

-ième année
après

2013

, et

b_{n}

le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur

B\;

la

n

-ième année après

2013.

Ainsi,

a_{0} = 300

et

\;b_{0} = 300.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
Pour tout entier naturel

n

,

\left\{\begin{array}{c} {a_{n+1} =0,7a_{n} +0,2b_{n} +60} \\ {b_{n+1} =0,1a_{n} +0,6b_{n} +70} \end{array}\right..

On considère les matrices

M=\left(\begin{array}{cc} {0,7} & {0,2} \\ {0,1} & {0,6} \end{array}\right)

et

P=\left(\begin{array}{c} {60} \\ {70} \end{array}\right).

Pour tout entier naturel

n

, on note

U_{n}=\left(\begin{array}{c} {a_{n}} \\ {b_{n}} \end{array}\right).

${\color{black}a.}\;$ Déterminer $U_{1}.$
${\color{black}b.}\;$ Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n+1} =M \times U_{n} +P.$

Correction

\red{\text{a.}}

Pour

n=0

, la relation de l'énoncé nous donne :

a_{0+1}=0{,}7a_{0} +0{,}2b_{0} +60

et

b_{0+1}=0{,}1a_{0} +0{,}6b_{0} +70

Or

a_{0} = 300

et

b_{0} = 300

. Il vient alors que :

a_{1}=0{,}7\times 300+0{,}2\times 300+60

a_{1}=210+60+60

a_{1}=330

et

b_{1}=0{,}1\times 300+0{,}6\times 300+70

b_{1}=30+180+70

b_{1}=280

Ainsi :

U_{1}=\left(\begin{array}{c} {330} \\ {280} \end{array}\right)

En

2014

, l'opérateur

A

a donc

330

milliers d'abonnés et l'opérateur

B

en a

280

milliers.

\red{\text{b.}}

Pour tout entier naturel

n

, calculons

M \times U_{n} +P

:

M \times U_{n} +P=\left(\begin{array}{cc} {0{,}7} & {0{,}2} \\ {0{,}1} & {0{,}6} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {a_{n}} \\ {b_{n}} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {60} \\ {70} \end{array}\right)

M \times U_{n} +P=\left(\begin{array}{c} {0{,}7a_{n}+0{,}2b_{n}} \\ {0{,}1a_{n}+0{,}6b_{n}} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {60} \\ {70} \end{array}\right)

M \times U_{n} +P=\left(\begin{array}{c} {0{,}7a_{n}+0{,}2b_{n}+60} \\ {0{,}1a_{n}+0{,}6b_{n}+70} \end{array}\right)

Or, d'après l'énoncé,

\red{a_{n+1} =0{,}7a_{n} +0{,}2b_{n} +60}

et

\red{b_{n+1} =0{,}1a_{n} +0{,}6b_{n} +70}

.
Il vient alors que :

M \times U_{n} +P=\left(\begin{array}{c} {a_{n+1}} \\ {b_{n+1}} \end{array}\right)

Finalement, pour tout entier naturel

n

:

U_{n+1} =M \times U_{n} +P

Question 2

On note

I

la matrice

\left(\begin{array}{cc} {1} & {0}\\ {0} & {1} \end{array}\right).

${\color{black}a.}\;$ Calculer $(I −M)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2}\\ {1} & {3} \end{array}\right).$
${\color{black}b.}\;$ En déduire que la matrice $I −M$ est inversible et préciser son inverse.
${\color{black}c.}\;$ Déterminer la matrice $U$ telle que $U =M \times U +P.$

Correction

\red{\text{a.}}

\blue{\text{Premièrement :}}

calculons

I-M

.

I-M=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {0{,}7} & {0{,}2} \\ {0{,}1} & {0{,}6} \end{array}\right)

I-M=\left(\begin{array}{cc} {0{,}3} & {-0{,}2} \\ {-0{,}1} & {0{,}4} \end{array}\right)

\blue{\text{Deuxièmement :}}

calculons le produit.

\left(I-M\right)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {0{,}3} & {-0{,}2} \\ {-0{,}1} & {0{,}4} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)

\left(I-M\right)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {0{,}3\times 4+\left(-0{,}2\right)\times 1} & {0{,}3\times 2+\left(-0{,}2\right)\times 3} \\ {\left(-0{,}1\right)\times 4+0{,}4\times 1} & {\left(-0{,}1\right)\times 2+0{,}4\times 3} \end{array}\right)

\left(I-M\right)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1{,}2-0{,}2} & {0{,}6-0{,}6} \\ {-0{,}4+0{,}4} & {-0{,}2+1{,}2} \end{array}\right)

Ainsi :

\left(I-M\right)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)

c'est-à-dire

\left(I-M\right)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)=I

.

\red{\text{b.}}

Une matrice carrée

A

d'ordre

p

est

\red{\text{inversible}}

s'il existe une matrice carrée

B

d'ordre

p

telle que

A\times B=B\times A=I_{p}

.
La matrice

B

est alors la matrice inverse de

A

et on la note

A^{-1}

.

D'après la question précédente, nous avons :

\left(I-M\right)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)=I

.
Vérifions également le produit dans l'autre sens :

\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\times \left(I-M\right)=\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}3} & {-0{,}2} \\ {-0{,}1} & {0{,}4} \end{array}\right)

\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\times \left(I-M\right)=\left(\begin{array}{cc} {4\times 0{,}3+2\times \left(-0{,}1\right)} & {4\times \left(-0{,}2\right)+2\times 0{,}4} \\ {1\times 0{,}3+3\times \left(-0{,}1\right)} & {1\times \left(-0{,}2\right)+3\times 0{,}4} \end{array}\right)

\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\times \left(I-M\right)=\left(\begin{array}{cc} {1{,}2-0{,}2} & {-0{,}8+0{,}8} \\ {0{,}3-0{,}3} & {-0{,}2+1{,}2} \end{array}\right)

\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\times \left(I-M\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)

Comme

\left(I-M\right)\times \left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\times \left(I-M\right)=I

alors la matrice

I-M

est

\red{\text{inversible}}

et son inverse est :

\left(I-M\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)

\red{\text{c.}}

U =M \times U +P

équivaut successivement à :

U-M \times U=P

I\times U-M \times U=P

\left(I-M\right)\times U=P

Comme la matrice

I-M

est inversible, on multiplie à gauche par

\left(I-M\right)^{-1}

:

\left(I-M\right)^{-1}\times \left(I-M\right)\times U=\left(I-M\right)^{-1}\times P

U=\left(I-M\right)^{-1}\times P

U=\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {60} \\ {70} \end{array}\right)

U=\left(\begin{array}{c} {4\times 60+2\times 70} \\ {1\times 60+3\times 70} \end{array}\right)

U=\left(\begin{array}{c} {240+140} \\ {60+210} \end{array}\right)

Ainsi :

U=\left(\begin{array}{c} {380} \\ {270} \end{array}\right)

Question 3

Pour tout entier naturel

n

, on pose

V_{n} =U_{n} −U.

${\color{black}a.}\;$ Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $V_{n+1} =M \times V_{n}.$
${\color{black}b.}\;$ En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $V_{n} =M^{n}\times V_{0}.$

Correction

\red{\text{a.}}

Pour tout entier naturel

n

, on a :

V_{n} =U_{n}-U

V_{n+1} =U_{n+1}-U

. Or

\red{U_{n+1} =M \times U_{n} +P}

et, d'après la question

2

,

\blue{U =M \times U +P}

V_{n+1} =\red{M \times U_{n} +P}-\left(\blue{M \times U +P}\right)

V_{n+1} =M \times U_{n} +P-M \times U -P

V_{n+1} =M \times U_{n} -M \times U

V_{n+1} =M \times \left(U_{n}-U\right)

Finalement :

V_{n+1} =M \times V_{n}

\red{\text{b.}}

D'après la question précédente, pour tout entier naturel

n

, on a :

V_{n+1} =M \times V_{n}

, où

M

est une matrice carrée d'ordre

2

.

Soient

A

une matrice carrée d'ordre

p

(

p

entier naturel) et

\left(U_{n}\right)

une suite de matrices colonnes à

p

lignes telles que pour tout entier naturel

n

, on a :

U_{n+1} =AU_{n}

Alors pour tout entier naturel

n

, on a :

U_{n} =A^{n}U_{0}

D'après le rappel, il en résulte que, pour tout entier naturel

n

, on a :

V_{n} =M^{n}\times V_{0}

Question 4

On admet que, pour tout entier naturel

n

,

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; V_{n} =\left(\begin{array}{c} {-\dfrac{100}{3}\times0,8^{n}-\dfrac{140}{3}\times0,5^{n}}\\ \rule{0pt}{1.9em} {-\dfrac{50}{3}\times0,8^{n}+\dfrac{140}{3}\times0,5^{n}} \end{array}\right).

${\color{black}a.}\;$ Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $(a_{n})$ .
${\color{black}b.}\;$ Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur $A$ à long terme.

Correction

\red{\text{a.}}

Pour tout entier naturel

n

, on a

V_{n} =U_{n}-U

, d'où

U_{n} =V_{n}+U

.
Il vient alors que :

U_{n} =\left(\begin{array}{c} {-\dfrac{100}{3}\times 0{,}8^{n}-\dfrac{140}{3}\times 0{,}5^{n}} \\ \rule{0pt}{1.9em} {-\dfrac{50}{3}\times 0{,}8^{n}+\dfrac{140}{3}\times 0{,}5^{n}} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {380} \\ {270} \end{array}\right)

Ainsi :

U_{n} =\left(\begin{array}{c} {380-\dfrac{100}{3}\times 0{,}8^{n}-\dfrac{140}{3}\times 0{,}5^{n}} \\ \rule{0pt}{1.9em} {270-\dfrac{50}{3}\times 0{,}8^{n}+\dfrac{140}{3}\times 0{,}5^{n}} \end{array}\right)

Le coefficient de la première ligne nous donne, pour tout entier naturel

n

:

a_{n} =380-\dfrac{100}{3}\times 0{,}8^{n}-\dfrac{140}{3}\times 0{,}5^{n}

Déterminons maintenant la limite de la suite

(a_{n})

.

Si $-1\lt q\lt 1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0$ .
Si $q \gt 1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty$ .

Comme

-1\lt 0{,}8\lt 1

alors :

\lim\limits_{n\to +\infty } 0{,}8^{n} =0

\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{100}{3}\times 0{,}8^{n} =0

Comme

-1\lt 0{,}5\lt 1

alors :

\lim\limits_{n\to +\infty } 0{,}5^{n} =0

\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{140}{3}\times 0{,}5^{n} =0

D'où :

\lim\limits_{n\to +\infty }\left(380-\dfrac{100}{3}\times 0{,}8^{n}-\dfrac{140}{3}\times 0{,}5^{n}\right)=380

Ainsi :

\lim\limits_{n\to +\infty } a_{n} =380

\red{\text{b.}}

Comme

a_{n}

est le nombre d'abonnés de l'opérateur

A

en milliers et que

\lim\limits_{n\to +\infty } a_{n} =380

, le nombre d'abonnés de l'opérateur

A

va se rapprocher de

380

milliers.
À long terme, l'opérateur

A

aura donc environ

380\,000

abonnés.

Exercices types : 2ᵉ partie - Exercice 1

a. {\color{black}a.}\;a. Déterminer U1.U_{1}.U1​.b. {\color{black}b.}\;b. Vérifier que, pour tout entier naturel nnn, Un+1=M×Un+P.U_{n+1} =M \times U_{n} +P.Un+1​=M×Un​+P.

a. {\color{black}a.}\;a. Justifier que, pour tout entier naturel nnn, Vn+1=M×Vn.V_{n+1} =M \times V_{n}.Vn+1​=M×Vn​.b. {\color{black}b.}\;b. En déduire que, pour tout entier naturel nnn, Vn=Mn×V0.V_{n} =M^{n}\times V_{0}.Vn​=Mn×V0​.

a. {\color{black}a.}\;a. Pour tout entier naturel nnn, exprimer UnU_{n}Un​ en fonction de nnn et en déduire la limite de la suite (an)(a_{n})(an​).b. {\color{black}b.}\;b. Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur AAA à long terme.

${\color{black}a.}\;$ Déterminer $U_{1}.$
${\color{black}b.}\;$ Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n+1} =M \times U_{n} +P.$

${\color{black}a.}\;$ Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $V_{n+1} =M \times V_{n}.$
${\color{black}b.}\;$ En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $V_{n} =M^{n}\times V_{0}.$

${\color{black}a.}\;$ Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $(a_{n})$ .
${\color{black}b.}\;$ Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur $A$ à long terme.