D’une année sur l’autre, une partie des fonds de l’agence X est transférée à l’agence Y, et réciproquement.
De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.
Soit n un entier naturel. On note xn la quantité de fonds détenue par l’agence X, et yn la quantité de
fonds détenue par l’agence Y au 1er janvier de l’année 2014+n, exprimées en millions d’euros.
On note Un la matrice (xnyn) et on note I=(1001).
On suppose que le 1er janvier de l’année 2014, l’agence X possède 50 millions d’euros et l’agence Y possède 10 millions d’euros.
L’évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante :
Un+1=AUn+B où A=(0,60,20,150,4) et B=(13)
1
Ecrire la relation matricielle
Un+1=AUn+B sous une forme d'un système linéaire.
Un+1=AUn+B où
A=(0,60,20,150,4) et
B=(13)Un+1=AUn+B équivaut successivement à :
(xn+1yn+1)=(0,60,20,150,4)×(xnyn)+(13) Il vient alors que :
{xn+1yn+1==0,6xn+0,15yn+10,2xn+0,4yn+3 2
Interpréter dans le contexte de l’exercice le coefficient
0,6 de la matrice
A et le coefficient
3 de la matrice
B.
Le coefficient 0,6 de la matrice A correspond au pourcentage de la somme qui reste d’une année sur l’autre à l’agence X.Le coefficient 3 de la matrice B correspond à la somme (en millions d’euros) qui est rajoutée chaque année à l’agence Y. 3
Donner la matrice
U0 puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences
X et
Y en
2015, exprimée en millions d’euros.
On suppose que le
1er janvier de l’année
2014, l’agence
X possède
50 millions d’euros et l’agence
Y possède
10 millions d’euros.
Cette phrase se traduit par la matrice
U0=(5010)Dans ce cas, la quantité de fonds détenue par chacune des agences
X et
Y en
2015 correspond à la matrice
U1.
Comme
Un+1=AUn+B on peut alors écrire que :
U1=AU0+BIl vient alors que :
U1=AU0+B équivaut successivement à :
(x1y1)=(0,60,20,150,4)×(5010)+(13)(x1y1)=(0,6×50+0,15×100,2×50+0,4×10)+(13) (x1y1)=(31,514)+(13) Ainsi :
(x1y1)=(32,517) En
2015, il y a donc
32,5 millions d’euros dans l’agence
X et
17 millions d’euros dans l’agence
Y.
4
A l'aide de la calculatrice donner le résultat de la matrice
PDQ.
Avec la calculatrice, on obtient
PDQ=A5
Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel
QP. Dans la suite, on admettra que
QP=I .
On a :
QP=(0,250,25−0,3750,125)×(1−232) Le coefficient situé sur la première ligne et la deuxième colonne de la matrice
QP est donc :
0,25×1+(−0,375)×(−2)=1Dans la suite, on admettra que
QP=I ce qui signifie que :
QP=(1001)6
Démontrer que pour tout entier naturel
n,
Vn+1=AVn.
Pour tout entier naturel
n, on a :
Vn=Un−(5320)Vn+1=Un+1−(5320) . Or
Un+1=AUn+BVn+1=AUn+B−(5320) . De plus, comme
Vn=Un−(5320) alors
Un=Vn+(5320) Cela nous donne :
Vn+1=A(Vn+(5320))+B−(5320) Vn+1=A×Vn+A×(5320)+B−(5320) Vn+1=A×Vn+(0,60,20,150,4)×(5320)+(13)−(5320) Vn+1=A×Vn+(0,60,20,150,4)×(5320)+(−4−311) Vn+1=A×Vn+(0,6×5+0,15×3200,2×5+0,4×320)+(−4−311) Vn+1=A×Vn+(4311)+(−4−311)Finalement :
Vn+1=A×Vn 7
Déterminer
V0 puis pour tout entier naturel
n, donner l’expression de
Vn en fonction de
A,n et
V0.
Pour tout entier naturel
n,
Vn=Un−(5320) .
Ce qui nous permet d'écrire :
V0=U0−(5320) .
U0=(5010)V0=(5010)−(5320)Ainsi :
V0=(45310) et pour tout entier naturel
n, on a :
Vn+1=A×VnSoient
A une matrice carrée d'ordre
p (
p entier naturel) et
(Un) une suite de matrice colonnes à
p lignes telles que pour tout entier naturel
n, on a :
Un+1=AUn Alors pour tout entier naturel
n, on a :
Un=AnU0D'après le rappel, il en résulte, que pour tout entier naturel
n, on a :
Vn=AnV08
Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice
Vn en détaillant les calculs.
D'après la question précédente, nous savons que :
Vn=AnV0Ainsi :
Vn=AnV0Vn=(0,25×0,3n+0,75×0,7n0,5(−0,3n+0,7n)0,375(−0,3n+0,7n)0,75×0,3n+0,25×0,7n)×(45310)Le coefficient de la première ligne de
Vn est alors :
(0,25×0,3n+0,75×0,7n)×45+(0,375(−0,3n+0,7n))×310Notons ce coefficient
β et simplifions le.
β=(0,25×0,3n+0,75×0,7n)×45+(0,375(−0,3n+0,7n))×310β=0,25×0,3n×45+0,75×0,7n×45+0,375×310×(−0,3n)+0,375×310×0,7nβ=11,25×0,3n+33,75×0,7n−1,25×0,3n+1,25×0,7n Ainsi :
β=10×0,3n+35×0,7n 9
En déduire l’expression de
xn en fonction de
n.
Nous savons que
Un=Vn+(5320)Ainsi :
(xnyn)=Vn+(5320)Ainsi
xn est donc la somme du coefficient de la première ligne de la matrice
Vn que l'on a appelé
β et nous allons rajouter ensuite le coefficient de la première ligne de la matrice
(5320)On a alors :
xn=β+5Finalement :
xn=10×0,3n+35×0,7n+5 10
Déterminer la limite de
xn quand n tend vers
+∞ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
n→+∞limxn=n→+∞lim10×0,3n+35×0,7n+5- Si −1<q<1 alors n→+∞limqn=0.
- Si q>1 alors n→+∞limqn=+∞.
Comme
−1<0,3<1 alors :
n→+∞lim0,3n=0n→+∞lim10×0,3n=0Comme
−1<0,7<1 alors :
n→+∞lim0,7n=0n→+∞lim35×0,7n=0D'où :
n→+∞lim10×0,3n+35×0,7n+5=5Ainsi :
n→+∞limxn=5 Cela signifie que la quantité de fonds disponibles dans l’agence
X va tendre vers
5 millions d’euros.
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