Exercices types : 1ʳᵉ partie - Exercice 1

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées $$X$$ et $$Y$$.
D’une année sur l’autre, une partie des fonds de l’agence $$X$$ est transférée à l’agence $$Y$$, et réciproquement.
De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.
Soit $$n$$ un entier naturel. On note $$x_{n}$$ la quantité de fonds détenue par l’agence $$X$$, et $$y_{n}$$ la quantité de
fonds détenue par l’agence $$Y$$ au $$1$$^er janvier de l’année $$2014+n$$, exprimées en millions d’euros.
On note $$U_n$$ la matrice $${\left(\begin{array}{c} {x_{n} } \\ {y_{n} }\end{array}\right)}$$ et on note $$I=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right).$$
On suppose que le $$1$$^er janvier de l’année $$2014$$, l’agence $$X$$ possède $$50$$ millions d’euros et l’agence $$Y$$ possède $$10$$ millions d’euros.
L’évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante :
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$$$U_{n+1} =AU_{n} +B$$ où $$A=\left(\begin{array}{cc} {0,6} & {0,15} \\ {0,2} & {0,4} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)$$

On note $$D=\left(\begin{array}{cc} {0,3} & {0} \\ {0} & {0,7} \end{array}\right), P=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-2} & {2} \end{array}\right)$$ et $$Q=\left(\begin{array}{cc} {0,25} & {-0,375} \\ {0,25} & {0,125} \end{array}\right).$$

On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $$n$$, $$A^{n} = PD^{n}Q.$$
On pose pour tout entier naturel $$n$$, $$V_{n} =U_{n}-\left(\begin{array}{c} {5} \\ \rule{0pt}{1.9em} {\dfrac{20}{3}} \end{array}\right)$$ .

Soit $$n$$ un entier naturel. On admet que :
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$$$A^{n}=\left(\begin{array}{cc} {0,25\times0,3^{n}+0,75\times 0,7^{n}} & {0,375(-0,3^{n}+0,7^{n})} \\ {0,5(-0,3^{n}+0,7^{n})} & {0,75\times0,3^{n}+0,25\times 0,7^{n}} \end{array}\right)$$