Exercices types : $1$^ère partie

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées $X$ et $Y$.
D’une année sur l’autre, une partie des fonds de l’agence $X$ est transférée à l’agence $Y$, et réciproquement.
De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.
Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l’agence $X$, et $y_{n}$ la quantité de
fonds détenue par l’agence $Y$ au $1$^er janvier de l’année $2014+n$, exprimées en millions d’euros.
On note $U_n$ la matrice ${\left(\begin{array}{c} {x_{n} } \\ {y_{n} }\end{array}\right)}$ et on note $I=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right).$
On suppose que le $1$^er janvier de l’année $2014$, l’agence $X$ possède $50$ millions d’euros et l’agence $Y$ possède $10$ millions d’euros.
L’évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante :
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$U_{n+1} =AU_{n} +B$ où $A=\left(\begin{array}{cc} {0,6} & {0,15} \\ {0,2} & {0,4} \end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)$

On note $D=\left(\begin{array}{cc} {0,3} & {0} \\ {0} & {0,7} \end{array}\right), P=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-2} & {2} \end{array}\right)$ et $Q=\left(\begin{array}{cc} {0,25} & {-0,375} \\ {0,25} & {0,125} \end{array}\right).$

On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n$, $A^{n} = PD^{n}Q.$
On pose pour tout entier naturel $n$, $V_{n} =U_{n}-\left(\begin{array}{c} {5} \\ {\frac{20}{3}} \end{array}\right)$ .

Soit $n$ un entier naturel. On admet que :
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$A^{n}=\left(\begin{array}{cc} {0,25\times0,3^{n}+0,75\times 0,7^{n}} & {0,375(-0,3^{n}+0,7^{n})} \\ {0,5(-0,3^{n}+0,7^{n})} & {0,75\times0,3^{n}+0,25\times 0,7^{n}} \end{array}\right)$