Suites et matrices : chaînes de Markov

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

COMPETENCES  :  1°)  Communiquer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Communiquer.}     \;\; 2°)  Modeˊliser.{\color{red}2°)\;Modéliser.}     \;\; 3°)  Raisonner.{\color{red}3°)\;Raisonner.}     \;\; 4°)  Calculer.{\color{red}4°)\;Calculer.}
Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées XX et YY.
D’une année sur l’autre, une partie des fonds de l’agence XX est transférée à l’agence YY, et réciproquement.
De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.
Soit nn un entier naturel. On note xnx_{n} la quantité de fonds détenue par l’agence XX, et yny_{n} la quantité de
fonds détenue par l’agence YY au 11er janvier de l’année 2014+n2014+n, exprimées en millions d’euros.
On note UnU_n la matrice (xnyn){\left(\begin{array}{c} {x_{n} } \\ {y_{n} }\end{array}\right)} et on note I=(1001).I=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right).
On suppose que le 11er janvier de l’année 20142014, l’agence XX possède 5050 millions d’euros et l’agence YY possède 1010 millions d’euros.
L’évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante :
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Un+1=AUn+BU_{n+1} =AU_{n} +BA=(0,60,150,20,4)A=\left(\begin{array}{cc} {0,6} & {0,15} \\ {0,2} & {0,4} \end{array}\right) et B=(13)B=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)
1

Ecrire la relation matricielle Un+1=AUn+BU_{n+1} =AU_{n} +B sous une forme d'un système linéaire.

Correction
2

Interpréter dans le contexte de l’exercice le coefficient 0,60,6 de la matrice AA et le coefficient 33 de la matrice BB.

Correction
3

Donner la matrice U0U_{0} puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences XX et YY en 20152015, exprimée en millions d’euros.

Correction
On note D=(0,3000,7),P=(1322)D=\left(\begin{array}{cc} {0,3} & {0} \\ {0} & {0,7} \end{array}\right), P=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-2} & {2} \end{array}\right) et Q=(0,250,3750,250,125).Q=\left(\begin{array}{cc} {0,25} & {-0,375} \\ {0,25} & {0,125} \end{array}\right).
4

A l'aide de la calculatrice donner le résultat de la matrice PDQPDQ.

Correction
5

Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel QPQP. Dans la suite, on admettra que QP=IQP = I .

Correction
On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul nn, An=PDnQ.A^{n} = PD^{n}Q.
On pose pour tout entier naturel nn, Vn=Un(5203)V_{n} =U_{n}-\left(\begin{array}{c} {5} \\ {\frac{20}{3}} \end{array}\right) .
6

Démontrer que pour tout entier naturel nn, Vn+1=AVnV_{n+1} = AV_{n}.

Correction
7

Déterminer V0V_{0} puis pour tout entier naturel nn, donner l’expression de VnV_{n} en fonction de A,nA, n et V0.V_{0}.

Correction
Soit nn un entier naturel. On admet que :
                                                        \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;An=(0,25×0,3n+0,75×0,7n0,375(0,3n+0,7n)0,5(0,3n+0,7n)0,75×0,3n+0,25×0,7n)A^{n}=\left(\begin{array}{cc} {0,25\times0,3^{n}+0,75\times 0,7^{n}} & {0,375(-0,3^{n}+0,7^{n})} \\ {0,5(-0,3^{n}+0,7^{n})} & {0,75\times0,3^{n}+0,25\times 0,7^{n}} \end{array}\right)
8

Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice VnV_{n} en détaillant les calculs.

Correction
9

En déduire l’expression de xnx_{n} en fonction de nn.

Correction
10

Déterminer la limite de xnx_{n} quand n tend vers ++\infin et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.

Correction
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