Etude des suites de matrices de la forme $$U_{n+1} =AU_{n}$$ : la base - Exercice 2

Pour tout entier naturel, nous savons que $$U_{n+1} =AU_{n}$$ .
Il en résulte donc que :
$$U_{\red{0}+1} =AU_{\red{0}}$$
Ainsi :
$$U_{1} =AU_{0}$$
$$U_{1}=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {4} \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right)$$
$$U_{1}=\left(\begin{array}{c} {2\times 5+1\times 6} \\ {3\times 5+4\times 6} \end{array}\right)$$
Ainsi :

Pour cette question, il s'agit d'appliquer une formule du cours que l'on rappelle ci-dessous :Il en résulte donc que l'expression de $$U_n$$ en fonction de $$A$$ et $$n$$ est alors :

D'après la question précédente, nous avons vu que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$U_{n} =A^{n} \times U_{0}$$
Il en résulte donc que :
$$U_{4} =A^{4} \times U_{0}$$
$$U_{4} =\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {4} \end{array}\right)^{4} \times \left(\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right)$$
Ainsi : Cela signifie entre autre que :
$$U_{4} =\left(\begin{array}{c} {a_{4} } \\ {b_{4} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1\;721} \\ {5\;154} \end{array}\right)$$ d'où : $$a_{4}=1$$ $$721$$ et $$b_{4}=5$$ $$154$$