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Etude des suites de matrices de la forme Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n} : la base - Exercice 2

12 min
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Question 1
On donne la matrice A=(2134)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {4} \end{array}\right) et U0=(56)U_{0} =\left(\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right). On considère la matrice colonne Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) telle que pour tout entier naturel nn, on a : Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n}

Calculer U1U_{1} .

Correction
Pour tout entier naturel, nous savons que Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n} .
Il en résulte donc que :
U0+1=AU0U_{\red{0}+1} =AU_{\red{0}}
Ainsi :
U1=AU0U_{1} =AU_{0}
U1=(2134)×(56)U_{1}=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {4} \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right)
U1=(2×5+1×63×5+4×6)U_{1}=\left(\begin{array}{c} {2\times 5+1\times 6} \\ {3\times 5+4\times 6} \end{array}\right)
Ainsi :
U1=(1639)U_{1}=\left(\begin{array}{c} {16} \\ {39} \end{array}\right)
Question 2

Pour tout entier naturel nn, exprimer UnU_n en fonction de AA et nn .

Correction
Pour cette question, il s'agit d'appliquer une formule du cours que l'on rappelle ci-dessous :
Soit pp un entier naturel.
Soient AA un matrice carrée d'ordre pp et (Un)\left(U_{n}\right) une suite de matrices colonnes ayant pp lignes définies par : {U0Un+1=AUn\left\{\begin{array}{ccc} {U_{0} } & {} & {} \\ {U_{n+1} } & {=} & {AU_{n} } \end{array}\right. .
Alors, pour tout entier naturel nn, on a : Un=An×U0U_{n} =A^{n} \times U_{0}
Il en résulte donc que l'expression de UnU_n en fonction de AA et nn est alors :
Un=An×U0U_{n} =A^{n} \times U_{0}
Question 3

Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur de U4U_{4} .

Correction
D'après la question précédente, nous avons vu que pour tout entier naturel nn, on a : Un=An×U0U_{n} =A^{n} \times U_{0}
Il en résulte donc que :
U4=A4×U0U_{4} =A^{4} \times U_{0}
U4=(2134)4×(56)U_{4} =\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {4} \end{array}\right)^{4} \times \left(\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right)
Ainsi :
U4=(1  7215  154)U_{4} = \left(\begin{array}{c} {1\;721} \\ {5\;154} \end{array}\right)
Cela signifie entre autre que :
U4=(a4b4)=(1  7215  154)U_{4} =\left(\begin{array}{c} {a_{4} } \\ {b_{4} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1\;721} \\ {5\;154} \end{array}\right) d'où : a4=1a_{4}=1 721721 et b4=5b_{4}=5 154154

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