Suites et matrices : chaînes de Markov

Etude des suites de matrices de la forme Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n} : la base

Exercice 1

Soit nn un entier naturel nn.
(an)\left(a_{n} \right) et (bn)\left(b_{n} \right) sont deux suites définies par a0=2a_{0}=2 et b0=3b_{0}=3 et {an+1=5an4bnbn+1=2an7bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {5a_{n} -4b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {2a_{n} -7b_{n} } \end{array}\right.
1

On pose Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) . Déterminer la matrice carrée AA d'ordre 22 vérifiant la relation de récurrence Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n}

Correction
Soit nn un entier naturel nn.
(an)\left(a_{n} \right) et (bn)\left(b_{n} \right) sont deux suites définies par a0=1a_{0}=1 et b0=5b_{0}=5 et {an+1=6an+2bnbn+1=anbn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {6a_{n} +2b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {a_{n} -b_{n} } \end{array}\right.
2

On pose Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) . Déterminer la matrice carrée AA d'ordre 22 vérifiant la relation de récurrence Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n}

Correction
A partir de la question 3\red{3}, pour chaque question, traduire la relation de récurrence des suites donnée par l'égalité matricielle du type Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n} en déterminant les matrices UnU_{n} et AA .
3

Pour tout entier naturel nous avons : an+1=3an+5bna_{n+1}=3a_{n}+5b_{n} et bn+1=7an+9bnb_{n+1}=7a_{n}+9b_{n} avec a0=2a_{0}=2 et b0=2b_{0}=2 .

Correction
4

Pour tout entier naturel nous avons : an+1=an6bna_{n+1}=a_{n}-6b_{n} et bn+1=2an+4bnb_{n+1}=2a_{n}+4b_{n} avec a0=3a_{0}=3 et b0=4b_{0}=4 .

Correction

Exercice 2

On donne la matrice A=(2134)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {4} \end{array}\right) et U0=(56)U_{0} =\left(\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right). On considère la matrice colonne Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) telle que pour tout entier naturel nn, on a : Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n}
1

Calculer U1U_{1} .

Correction
2

Pour tout entier naturel nn, exprimer UnU_n en fonction de AA et nn .

Correction
3

Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur de U4U_{4} .

Correction
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