Suites et matrices : chaînes de Markov

Etude des suites de matrices de la forme Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n} : la base - Exercice 1

15 min
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Question 1
Soit nn un entier naturel nn.
(an)\left(a_{n} \right) et (bn)\left(b_{n} \right) sont deux suites définies par a0=2a_{0}=2 et b0=3b_{0}=3 et {an+1=5an−4bnbn+1=2an−7bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {5a_{n} -4b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {2a_{n} -7b_{n} } \end{array}\right.

On pose Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) . Déterminer la matrice carrée AA d'ordre 22 vérifiant la relation de récurrence Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n}

Correction
Comme Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) alors Un+1=(an+1bn+1)U_{n+1} =\left(\begin{array}{c} {a_{n+1} } \\ {b_{n+1} } \end{array}\right)
Nous savons que {an+1=5an−4bnbn+1=2an−7bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {\red{5}a_{n} \blue{-4}b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {\pink{2}a_{n} \purple{-7}b_{n} } \end{array}\right. . En écriture matricielle, il vient que :
(an+1bn+1)=(5−42−7)(anbn)\left(\begin{array}{c} {a_{n+1} } \\ {b_{n+1} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\red{5}} & {\blue{-4}} \\ {\pink{2}} & {\purple{-7}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right)
Un+1=(5−41−7)UnU_{n+1} =\left(\begin{array}{cc} {5} & {-4} \\ {1} & {-7} \end{array}\right)U_{n}
Par conséquent :
A=(5−41−7)A=\left(\begin{array}{cc} {5} & {-4} \\ {1} & {-7} \end{array}\right)

Question 2
Soit nn un entier naturel nn.
(an)\left(a_{n} \right) et (bn)\left(b_{n} \right) sont deux suites définies par a0=1a_{0}=1 et b0=5b_{0}=5 et {an+1=6an+2bnbn+1=an−bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {6a_{n} +2b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {a_{n} -b_{n} } \end{array}\right.

On pose Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) . Déterminer la matrice carrée AA d'ordre 22 vérifiant la relation de récurrence Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n}

Correction
Comme Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) alors Un+1=(an+1bn+1)U_{n+1} =\left(\begin{array}{c} {a_{n+1} } \\ {b_{n+1} } \end{array}\right)
Nous savons que {an+1=6an+2bnbn+1=1an−1bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {\red{6}a_{n} +\blue{2}b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {\pink{1}a_{n} \purple{-1}b_{n} } \end{array}\right. . En écriture matricielle, il vient que :
(an+1bn+1)=(621−1)(anbn)\left(\begin{array}{c} {a_{n+1} } \\ {b_{n+1} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\red{6}} & {\blue{2}} \\ {\pink{1}} & {\purple{-1}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right)
Un+1=(621−1)UnU_{n+1} =\left(\begin{array}{cc} {6} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right)U_{n}
Par conséquent :
A=(621−1)A=\left(\begin{array}{cc} {6} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right)
Question 3
A partir de la question 3\red{3}, pour chaque question, traduire la relation de récurrence des suites donnée par l'égalité matricielle du type Un+1=AUnU_{n+1} =AU_{n} en déterminant les matrices UnU_{n} et AA .

Pour tout entier naturel nous avons : an+1=3an+5bna_{n+1}=3a_{n}+5b_{n} et bn+1=7an+9bnb_{n+1}=7a_{n}+9b_{n} avec a0=2a_{0}=2 et b0=2b_{0}=2 .

Correction
Les informations an+1=3an+5bna_{n+1}=3a_{n}+5b_{n} et bn+1=7an+9bnb_{n+1}=7a_{n}+9b_{n} peuvent se traduire à l'aide d'un système : {an+1=3an+5bnbn+1=7an+9bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {\red{3}a_{n} +\blue{5}b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {\pink{7}a_{n}+ \purple{9}b_{n} } \end{array}\right.
On pose également la matrice colonne Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) alors Un+1=(an+1bn+1)U_{n+1} =\left(\begin{array}{c} {a_{n+1} } \\ {b_{n+1} } \end{array}\right) .
L'écriture matricielle du système {an+1=3an+5bnbn+1=7an+9bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {\red{3}a_{n} +\blue{5}b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {\pink{7}a_{n}+ \purple{9}b_{n} } \end{array}\right. est alors :
(an+1bn+1)=(3579)(anbn)\left(\begin{array}{c} {a_{n+1} } \\ {b_{n+1} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\red{3}} & {\blue{5}} \\ {\pink{7}} & {\purple{9}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right)
Un+1=(3579)UnU_{n+1} =\left(\begin{array}{cc} {3} & {5} \\ {7} & {9} \end{array}\right)U_{n}
Par conséquent :
A=(3579)A=\left(\begin{array}{cc} {3} & {5} \\ {7} & {9} \end{array}\right) et Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right)
Question 4

Pour tout entier naturel nous avons : an+1=an−6bna_{n+1}=a_{n}-6b_{n} et bn+1=2an+4bnb_{n+1}=2a_{n}+4b_{n} avec a0=3a_{0}=3 et b0=4b_{0}=4 .

Correction
Les informations an+1=an−6bna_{n+1}=a_{n}-6b_{n} et bn+1=2an+4bnb_{n+1}=2a_{n}+4b_{n} peuvent se traduire à l'aide d'un système : {an+1=1an−6bnbn+1=2an+4bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {\red{1}a_{n} \blue{-6}b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {\pink{2}a_{n}+ \purple{4}b_{n} } \end{array}\right.
On pose également la matrice colonne Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right) alors Un+1=(an+1bn+1)U_{n+1} =\left(\begin{array}{c} {a_{n+1} } \\ {b_{n+1} } \end{array}\right) .
L'écriture matricielle du système {an+1=1an−6bnbn+1=2an+4bn\left\{\begin{array}{ccc} {a_{n+1} } & {=} & {\red{1}a_{n} \blue{-6}b_{n} } \\ {b_{n+1} } & {=} & {\pink{2}a_{n}+ \purple{4}b_{n} } \end{array}\right. est alors :
(an+1bn+1)=(1−624)(anbn)\left(\begin{array}{c} {a_{n+1} } \\ {b_{n+1} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}} & {\blue{-6}} \\ {\pink{2}} & {\purple{4}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right)
Un+1=(1−624)UnU_{n+1} =\left(\begin{array}{cc} {1} & {-6} \\ {2} & {4} \end{array}\right)U_{n}
Par conséquent :
A=(1−624)A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {-6} \\ {2} & {4} \end{array}\right) et Un=(anbn)U_{n} =\left(\begin{array}{c} {a_{n} } \\ {b_{n} } \end{array}\right)