Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 1

30 min
45
Une entreprise loue des trottinettes dans une ville découpée en trois zones AA , BB et CC . On admet que la zone où se trouve une trottinette le soir est modélisée par une chaîne de Markov dont le graphe probabiliste est le suivant :

Le soir du jour 00 , la trottinette est dans la zone CC . Pour tout entier naturel nn , on note πn\pi_{n} la distribution le soir du jour nn .
Barème : 8 points
Question 1

Donner la matrice de transition PP (états rangés dans l'ordre AA , BB , CC) et la distribution initiale π0\pi_{0} .

Correction
Soit une chaîne de Markov à pp états. Sa matrice de transition\red{\text{matrice de transition}} PP est la matrice carrée d'ordre pp dont le coefficient de la ligne ii et de la colonne jj est la probabilité de passer de l'état ii à l'état jj en une transition.
Tous ses coefficients sont positifs ou nuls et la somme des coefficients de chaque ligne vaut 11 .
Chaque ligne regroupe les poids d'une même couleur sur le graphe.
Finalement :
P=(0,60,30,10,20,60,20,10,30,6)P=\left(\begin{array}{ccc} {\red{0{,}6}} & {\red{0{,}3}} & {\red{0{,}1}} \\ {\blue{0{,}2}} & {\blue{0{,}6}} & {\blue{0{,}2}} \\ {\green{0{,}1}} & {\green{0{,}3}} & {\green{0{,}6}} \end{array}\right)

Le soir du jour 00 , la trottinette est dans la zone CC :
π0=(001)\pi_{0}=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {1} \end{array}\right)

Question 2

Calculer π1\pi_{1} et π2\pi_{2} .

Correction
Pour tout entier naturel nn , πn+1=πn×P\pi_{n+1}=\pi_{n}\times P .
π1=(001)×(0,60,30,10,20,60,20,10,30,6)\pi_{1}=\left(\begin{array}{ccc} {\red{0}} & {\blue{0}} & {\green{1}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc} {0{,}6} & {0{,}3} & {0{,}1} \\ {0{,}2} & {0{,}6} & {0{,}2} \\ {0{,}1} & {0{,}3} & {0{,}6} \end{array}\right)
π1=(0×0,6+0×0,2+1×0,10×0,3+0×0,6+1×0,30×0,1+0×0,2+1×0,6)\pi_{1}=\left(\begin{array}{ccc} {\red{0}\times 0{,}6+\blue{0}\times 0{,}2+\green{1}\times 0{,}1} & {\red{0}\times 0{,}3+\blue{0}\times 0{,}6+\green{1}\times 0{,}3} & {\red{0}\times 0{,}1+\blue{0}\times 0{,}2+\green{1}\times 0{,}6} \end{array}\right)
Ainsi :
π1=(0,10,30,6)\pi_{1}=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}1} & {0{,}3} & {0{,}6} \end{array}\right)

π2=(0,10,30,6)×(0,60,30,10,20,60,20,10,30,6)\pi_{2}=\left(\begin{array}{ccc} {\red{0{,}1}} & {\blue{0{,}3}} & {\green{0{,}6}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc} {0{,}6} & {0{,}3} & {0{,}1} \\ {0{,}2} & {0{,}6} & {0{,}2} \\ {0{,}1} & {0{,}3} & {0{,}6} \end{array}\right)
π2=(0,1×0,6+0,3×0,2+0,6×0,10,1×0,3+0,3×0,6+0,6×0,30,1×0,1+0,3×0,2+0,6×0,6)\pi_{2}=\left(\begin{array}{ccc} {\red{0{,}1}\times 0{,}6+\blue{0{,}3}\times 0{,}2+\green{0{,}6}\times 0{,}1} & {\red{0{,}1}\times 0{,}3+\blue{0{,}3}\times 0{,}6+\green{0{,}6}\times 0{,}3} & {\red{0{,}1}\times 0{,}1+\blue{0{,}3}\times 0{,}2+\green{0{,}6}\times 0{,}6} \end{array}\right)
π2=(0,06+0,06+0,060,03+0,18+0,180,01+0,06+0,36)\pi_{2}=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}06+0{,}06+0{,}06} & {0{,}03+0{,}18+0{,}18} & {0{,}01+0{,}06+0{,}36} \end{array}\right)
Ainsi :
π2=(0,180,390,43)\pi_{2}=\left(\begin{array}{ccc} {0{,}18} & {0{,}39} & {0{,}43} \end{array}\right)

Question 3

À l'aide de la calculatrice, donner π10\pi_{10} (coefficients arrondis à 10−310^{-3}).

Correction
On a : π10=π0×P10\pi_{10}=\pi_{0}\times P^{10} . D'après la calculatrice, on obtient :
π10≈(0,2850,4290,286)\pi_{10}\approx \left(\begin{array}{ccc} {0{,}285} & {0{,}429} & {0{,}286} \end{array}\right)

Question 4

Déterminer la distribution invariante π=(xyz)\pi=\left(\begin{array}{ccc} {x} & {y} & {z} \end{array}\right) de cette chaîne de Markov.

Correction
Une distribution π\pi (matrice ligne dont les coefficients sont positifs ou nuls et de somme égale à 11) est dite invariante\red{\text{invariante}} si :
π×P=π\pi\times P=\pi
On cherche π\pi avec x+y+z=1x+y+z=1 telle que π×P=π\pi\times P=\pi .
π×P=π\pi\times P=\pi équivaut successivement à :
{0,6x+0,2y+0,1z=x0,3x+0,6y+0,3z=y0,1x+0,2y+0,6z=z\left\{\begin{array}{ccc} {0{,}6x+0{,}2y+0{,}1z} & {=} & {x} \\ {0{,}3x+0{,}6y+0{,}3z} & {=} & {y} \\ {0{,}1x+0{,}2y+0{,}6z} & {=} & {z} \end{array}\right.
D’une part :\red{\text{D'une part :}} la deuxième équation s'écrit 0,3(x+z)=0,4y0{,}3\left(x+z\right)=0{,}4y . Comme x+z=1−yx+z=1-y , on a 0,3(1−y)=0,4y0{,}3\left(1-y\right)=0{,}4y , c'est-à-dire 0,3=0,7y0{,}3=0{,}7y , d'où y=37y=\dfrac{3}{7} .
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} la première équation s'écrit 0,4x=0,2y+0,1z0{,}4x=0{,}2y+0{,}1z . Avec y=37y=\dfrac{3}{7} et z=47−xz=\dfrac{4}{7}-x , on obtient : 0,4x=0,67+0,47−0,1x0{,}4x=\dfrac{0{,}6}{7}+\dfrac{0{,}4}{7}-0{,}1x , soit 0,5x=170{,}5x=\dfrac{1}{7} , d'où x=27x=\dfrac{2}{7} , puis z=47−27=27z=\dfrac{4}{7}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{2}{7} .
On vérifie la troisième équation : 0,1×27+0,2×37+0,6×27=0,2+0,6+1,27=270{,}1\times \dfrac{2}{7}+0{,}2\times \dfrac{3}{7}+0{,}6\times \dfrac{2}{7}=\dfrac{0{,}2+0{,}6+1{,}2}{7}=\dfrac{2}{7} .
Finalement :
π=(273727)\pi=\left(\begin{array}{ccc} {\dfrac{2}{7}} & {\dfrac{3}{7}} & {\dfrac{2}{7}} \end{array}\right)

Question 5

Comparer π10\pi_{10} et π\pi , puis interpréter.

Correction
27≈0,286\dfrac{2}{7}\approx 0{,}286 et 37≈0,429\dfrac{3}{7}\approx 0{,}429 : la distribution π10\pi_{10} est déjà très proche de π\pi .
à long terme, une trottinette se trouve environ 29%29\% du temps en AA , 43%43\% en BB et 29%29\% en CC

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