Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 1

30 min
45
Un abonné d'une plateforme regarde chaque soir soit un film (FF), soit une série (SS). S'il regarde un film un soir, il regarde un film le lendemain avec une probabilité de 0,60{,}6 ; s'il regarde une série un soir, il regarde une série le lendemain avec une probabilité de 0,80{,}8 . Le soir 00 , il regarde un film.
Pour tout entier naturel nn , on note πn=(pn1−pn)\pi_{n}=\left(\begin{array}{cc} {p_{n}} & {1-p_{n}} \end{array}\right) la distribution le soir nn , où pnp_{n} est la probabilité qu'il regarde un film le soir nn .
Barème : 12 points
Question 1

Représenter la situation par un graphe probabiliste et donner la matrice de transition PP (états rangés dans l'ordre FF , SS).

Correction
Depuis FF , l'abonné regarde une série le lendemain avec une probabilité de 1−0,6=0,41-0{,}6=0{,}4 ; depuis SS , il regarde un film le lendemain avec une probabilité de 1−0,8=0,21-0{,}8=0{,}2 .
On obtient le graphe probabiliste suivant :

Finalement :
P=(0,60,40,20,8)P=\left(\begin{array}{cc} {\pink{0{,}6}} & {\orange{0{,}4}} \\ {\blue{0{,}2}} & {\red{0{,}8}} \end{array}\right)

Question 2

Donner π0\pi_{0} , puis calculer π1\pi_{1} et π2\pi_{2} .

Correction
Le soir 00 , l'abonné regarde un film :
π0=(10)\pi_{0}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \end{array}\right)

Pour tout entier naturel nn , πn+1=πn×P\pi_{n+1}=\pi_{n}\times P .
π1=(10)×(0,60,40,20,8)\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}} & {\blue{0}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}6} & {0{,}4} \\ {0{,}2} & {0{,}8} \end{array}\right)
π1=(1×0,6+0×0,21×0,4+0×0,8)\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}\times 0{,}6+\blue{0}\times 0{,}2} & {\red{1}\times 0{,}4+\blue{0}\times 0{,}8} \end{array}\right)
Ainsi :
π1=(0,60,4)\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}6} & {0{,}4} \end{array}\right)

π2=(0,60,4)×(0,60,40,20,8)\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}6}} & {\blue{0{,}4}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}6} & {0{,}4} \\ {0{,}2} & {0{,}8} \end{array}\right)
π2=(0,6×0,6+0,4×0,20,6×0,4+0,4×0,8)\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}6}\times 0{,}6+\blue{0{,}4}\times 0{,}2} & {\red{0{,}6}\times 0{,}4+\blue{0{,}4}\times 0{,}8} \end{array}\right)
π2=(0,36+0,080,24+0,32)\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}36+0{,}08} & {0{,}24+0{,}32} \end{array}\right)
Ainsi :
π2=(0,440,56)\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}44} & {0{,}56} \end{array}\right)

Question 3

Déterminer la distribution invariante π=(xy)\pi=\left(\begin{array}{cc} {x} & {y} \end{array}\right) de cette chaîne de Markov.

Correction
Une distribution π\pi (matrice ligne dont les coefficients sont positifs ou nuls et de somme égale à 11) est dite invariante\red{\text{invariante}} si :
π×P=π\pi\times P=\pi
On cherche π\pi avec x+y=1x+y=1 telle que π×P=π\pi\times P=\pi .
π×P=π\pi\times P=\pi équivaut successivement à :
(0,6x+0,2y0,4x+0,8y)=(xy)\left(\begin{array}{cc} {0{,}6x+0{,}2y} & {0{,}4x+0{,}8y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {x} & {y} \end{array}\right)
{0,6x+0,2y=x0,4x+0,8y=y\left\{\begin{array}{ccc} {0{,}6x+0{,}2y} & {=} & {x} \\ {0{,}4x+0{,}8y} & {=} & {y} \end{array}\right.
{0,2y=0,4x0,4x=0,2y\left\{\begin{array}{ccc} {0{,}2y} & {=} & {0{,}4x} \\ {0{,}4x} & {=} & {0{,}2y} \end{array}\right.
Les deux équations reviennent à y=2xy=2x . Comme x+y=1x+y=1 , on a 3x=13x=1 , d'où x=13x=\dfrac{1}{3} et y=23y=\dfrac{2}{3} .
Finalement :
π=(1323)\pi=\left(\begin{array}{cc} {\dfrac{1}{3}} & {\dfrac{2}{3}} \end{array}\right)

Question 4

Démontrer que, pour tout entier naturel nn , pn+1=0,4pn+0,2p_{n+1}=0{,}4p_{n}+0{,}2 .

Correction
Pour tout entier naturel nn , πn+1=πn×P\pi_{n+1}=\pi_{n}\times P . Le premier coefficient de πn+1\pi_{n+1} est donc :
pn+1=pn×0,6+(1−pn)×0,2p_{n+1}=\red{p_{n}}\times 0{,}6+\left(\blue{1-p_{n}}\right)\times 0{,}2
pn+1=0,6pn+0,2−0,2pnp_{n+1}=0{,}6p_{n}+0{,}2-0{,}2p_{n}
Finalement :
pn+1=0,4pn+0,2p_{n+1}=0{,}4p_{n}+0{,}2

Question 5

Pour tout entier naturel nn , on pose un=pn−13u_{n}=p_{n}-\dfrac{1}{3} . Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est géométrique, puis exprimer pnp_{n} en fonction de nn .

Correction
un+1=pn+1−13u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{1}{3}
un+1=0,4pn+0,2−13u_{n+1}=0{,}4p_{n}+0{,}2-\dfrac{1}{3}
un+1=0,4pn−215u_{n+1}=0{,}4p_{n}-\dfrac{2}{15}
un+1=0,4(pn−13)u_{n+1}=0{,}4\left(p_{n}-\dfrac{1}{3}\right)
un+1=0,4unu_{n+1}=0{,}4u_{n}
La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison 0,40{,}4 et de premier terme u0=p0−13=1−13=23u_{0}=p_{0}-\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} .
Ainsi, pour tout entier naturel nn , un=23×0,4nu_{n}=\dfrac{2}{3}\times 0{,}4^{n} et :
pn=13+23×0,4np_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0{,}4^{n}

Question 6

Déterminer la limite de la suite (pn)\left(p_{n}\right) . Interpréter ce résultat à l'aide de la distribution invariante.

Correction
Comme −1<0,4<1-1\lt 0{,}4\lt 1 alors lim⁡n→+∞0,4n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 0{,}4^{n} =0 , d'où :
lim⁡n→+∞pn=13\lim\limits_{n\to +\infty } p_{n} =\dfrac{1}{3}

La distribution πn\pi_{n} se rapproche de la distribution invariante π\pi : à long terme, l'abonné regarde un film environ un soir sur trois et une série environ deux soirs sur trois.

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