Déterminer une distribution invariante - Exercice 1

12 min
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Chaque semaine, un lecteur achète un seul des deux magazines AA et BB . S'il achète le magazine AA une semaine, il achète AA la semaine suivante avec une probabilité de 0,90{,}9 ; s'il achète le magazine BB une semaine, il achète AA la semaine suivante avec une probabilité de 0,40{,}4 .
On admet que la situation est modélisée par une chaîne de Markov de matrice de transition P=(0,90,10,40,6)P=\left(\begin{array}{cc} {0{,}9} & {0{,}1} \\ {0{,}4} & {0{,}6} \end{array}\right) (états rangés dans l'ordre AA , BB).
Question 1

Déterminer la distribution invariante π=(xy)\pi=\left(\begin{array}{cc} {x} & {y} \end{array}\right) de cette chaîne de Markov.

Correction
Une distribution π\pi (matrice ligne dont les coefficients sont positifs ou nuls et de somme égale à 11) est dite invariante\red{\text{invariante}} si :
π×P=π\pi\times P=\pi
On cherche π=(xy)\pi=\left(\begin{array}{cc} {x} & {y} \end{array}\right) avec x+y=1x+y=1 telle que π×P=π\pi\times P=\pi .
π×P=π\pi\times P=\pi équivaut successivement à :
(xy)×(0,90,10,40,6)=(xy)\left(\begin{array}{cc} {x} & {y} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}9} & {0{,}1} \\ {0{,}4} & {0{,}6} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {x} & {y} \end{array}\right)
(0,9x+0,4y0,1x+0,6y)=(xy)\left(\begin{array}{cc} {0{,}9x+0{,}4y} & {0{,}1x+0{,}6y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {x} & {y} \end{array}\right)
{0,9x+0,4y=x0,1x+0,6y=y\left\{\begin{array}{ccc} {0{,}9x+0{,}4y} & {=} & {x} \\ {0{,}1x+0{,}6y} & {=} & {y} \end{array}\right.
{0,4y=0,1x0,1x=0,4y\left\{\begin{array}{ccc} {0{,}4y} & {=} & {0{,}1x} \\ {0{,}1x} & {=} & {0{,}4y} \end{array}\right.
Les deux équations reviennent à x=4yx=4y .
Comme x+y=1x+y=1 , on a : 4y+y=14y+y=1 , d'où y=0,2y=0{,}2 et x=4×0,2=0,8x=4\times 0{,}2=0{,}8 .
Finalement :
π=(0,80,2)\pi=\left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \end{array}\right)

Question 2

Vérifier ce résultat en calculant π×P\pi\times P .

Correction
π×P=(0,80,2)×(0,90,10,40,6)\pi\times P=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}8}} & {\blue{0{,}2}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}9} & {0{,}1} \\ {0{,}4} & {0{,}6} \end{array}\right)
π×P=(0,8×0,9+0,2×0,40,8×0,1+0,2×0,6)\pi\times P=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}8}\times 0{,}9+\blue{0{,}2}\times 0{,}4} & {\red{0{,}8}\times 0{,}1+\blue{0{,}2}\times 0{,}6} \end{array}\right)
Ainsi :
π×P=(0,80,2)=π\pi\times P=\left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \end{array}\right)=\pi

Question 3

Interpréter ce résultat.

Correction
Si une semaine le lecteur achète le magazine AA avec une probabilité de 0,80{,}8 et le magazine BB avec une probabilité de 0,20{,}2 , alors il en est de même la semaine suivante : la distribution ne change plus.
On admet que πn\pi_{n} se rapproche de π\pi lorsque nn devient grand :
à long terme, le lecteur achète le magazine AA environ 80%80\% des semaines

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