Calculer la distribution après n transitions - Exercice 1

15 min

Une chaîne de Markov à deux états

1

2

a pour matrice de transition

P=\left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \\ {0{,}3} & {0{,}7} \end{array}\right)

et pour distribution initiale

\pi_{0}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}5} & {0{,}5} \end{array}\right)

Question 1

Calculer $\pi_{1}$ .

Correction

Soit une chaîne de Markov de matrice de transition

P

et de distribution initiale

\pi_{0}

. Pour tout entier naturel

n

, la distribution après

n

transitions est la matrice ligne

\pi_{n}

telle que :

\pi_{n+1}=\pi_{n}\times P

\pi_{n}=\pi_{0}\times P^{n}

Pour

n=0

, on a :

\pi_{1}=\pi_{0}\times P

\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}5}} & {\blue{0{,}5}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \\ {0{,}3} & {0{,}7} \end{array}\right)

\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}5}\times 0{,}8+\blue{0{,}5}\times 0{,}3} & {\red{0{,}5}\times 0{,}2+\blue{0{,}5}\times 0{,}7} \end{array}\right)

Ainsi :

\pi_{1}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}55} & {0{,}45} \end{array}\right)

Question 2

En déduire $\pi_{2}$ .

Correction

Pour

n=1

, on a :

\pi_{2}=\pi_{1}\times P

\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}55}} & {\blue{0{,}45}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \\ {0{,}3} & {0{,}7} \end{array}\right)

\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}55}\times 0{,}8+\blue{0{,}45}\times 0{,}3} & {\red{0{,}55}\times 0{,}2+\blue{0{,}45}\times 0{,}7} \end{array}\right)

\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}44+0{,}135} & {0{,}11+0{,}315} \end{array}\right)

Ainsi :

\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}575} & {0{,}425} \end{array}\right)

Question 3

Calculer $P^{2}$ en détaillant les calculs, puis retrouver $\pi_{2}$ à l'aide de $P^{2}$ .

Correction

Nous savons que

P^{2}=P\times P

P^{2}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \\ {0{,}3} & {0{,}7} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0{,}8\times 0{,}8+0{,}2\times 0{,}3} & {0{,}8\times 0{,}2+0{,}2\times 0{,}7} \\ {0{,}3\times 0{,}8+0{,}7\times 0{,}3} & {0{,}3\times 0{,}2+0{,}7\times 0{,}7} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \\ {0{,}3} & {0{,}7} \end{array}\right)}}

P^{2}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \\ {0{,}3} & {0{,}7} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0{,}7} & {0{,}3} \\ {0{,}45} & {0{,}55} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0{,}8} & {0{,}2} \\ {0{,}3} & {0{,}7} \end{array}\right)}}

Ainsi :

P^{2}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}7} & {0{,}3} \\ {0{,}45} & {0{,}55} \end{array}\right)

D'après le rappel,

\pi_{2}=\pi_{0}\times P^{2}

\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}5}} & {\blue{0{,}5}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} {0{,}7} & {0{,}3} \\ {0{,}45} & {0{,}55} \end{array}\right)

\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {\red{0{,}5}\times 0{,}7+\blue{0{,}5}\times 0{,}45} & {\red{0{,}5}\times 0{,}3+\blue{0{,}5}\times 0{,}55} \end{array}\right)

On retrouve bien :

\pi_{2}=\left(\begin{array}{cc} {0{,}575} & {0{,}425} \end{array}\right)

Question 4

Interpréter le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de $P^{2}$ .

Correction

Le coefficient de la ligne

i

et de la colonne

j

de la matrice

P^{n}

est la probabilité de passer de l'état

i

à l'état

j

n

transitions.

Le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de

P^{2}

vaut

0{,}45

.
Ainsi :

la probabilité de passer de l'état

2

à l'état

1

en deux transitions est égale à

0{,}45

Question 5

À l'aide de la calculatrice, donner $\pi_{10}$ (coefficients arrondis à $10^{-4}$ ).

Correction

On a :

\pi_{10}=\pi_{0}\times P^{10}

. On calcule

P^{10}

à la calculatrice, puis le produit

\pi_{0}\times P^{10}

.
D'après la calculatrice, on obtient :

\pi_{10}\approx \left(\begin{array}{cc} {0{,}5999} & {0{,}4001} \end{array}\right)

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Calculer la distribution après n transitions - Exercice 1

Calculer π1\pi_{1}π1​ .

En déduire π2\pi_{2}π2​ .

Calculer P2P^{2}P2 en détaillant les calculs, puis retrouver π2\pi_{2}π2​ à l'aide de P2P^{2}P2 .

Interpréter le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de P2P^{2}P2 .

À l'aide de la calculatrice, donner π10\pi_{10}π10​ (coefficients arrondis à 10−410^{-4}10−4).

Calculer $\pi_{1}$ .

En déduire $\pi_{2}$ .

Calculer $P^{2}$ en détaillant les calculs, puis retrouver $\pi_{2}$ à l'aide de $P^{2}$ .

Interpréter le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de $P^{2}$ .

À l'aide de la calculatrice, donner $\pi_{10}$ (coefficients arrondis à $10^{-4}$ ).