Utiliser la décomposition en facteurs premiers - Exercice 1

20 min
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Question 1

Décomposer 756756 en produit de facteurs premiers.

Correction
On cherche les diviseurs premiers de 756756 dans l'ordre croissant :
  • 756756 est divisible par 2\red{2} (c'est un nombre pair) : 756=2×378756=\red{2}\times 378 ;
  • 378378 est divisible par 2\red{2} (c'est un nombre pair) : 378=2×189378=\red{2}\times 189 ;
  • 189189 n'est pas divisible par 22 (il est impair), mais il est divisible par 3\blue{3} (car 1+8+9=181+8+9=18 est dans la table de 33) : 189=3×63189=\blue{3}\times 63 ;
  • 6363 est divisible par 3\blue{3} (car 6+3=96+3=9 est dans la table de 33) : 63=3×2163=\blue{3}\times 21 ;
  • 2121 est divisible par 3\blue{3} (car 2+1=32+1=3) : 21=3×721=\blue{3}\times 7 ;
  • 77 est un nombre premier : 7=7×17=\green{7}\times 1.
    • On résume ces divisions dans un tableau :
    Il en résulte donc que la décomposition de 756756 en produit de facteurs premiers s'écrit :
    756=22×33×7756=\red{2}^{2}\times \blue{3}^{3}\times \green{7}
    Question 2

    Décomposer 1  9801\;980 en produit de facteurs premiers.

    Correction
    On cherche les diviseurs premiers de 1  9801\;980 dans l'ordre croissant :
  • 1  9801\;980 est divisible par 2\red{2} (c'est un nombre pair) : 1  980=2×9901\;980=\red{2}\times 990 ;
  • 990990 est divisible par 2\red{2} (c'est un nombre pair) : 990=2×495990=\red{2}\times 495 ;
  • 495495 n'est pas divisible par 22 (il est impair), mais il est divisible par 3\blue{3} (car 4+9+5=184+9+5=18 est dans la table de 33) : 495=3×165495=\blue{3}\times 165 ;
  • 165165 est divisible par 3\blue{3} (car 1+6+5=121+6+5=12 est dans la table de 33) : 165=3×55165=\blue{3}\times 55 ;
  • 5555 n'est pas divisible par 33 (car 5+5=105+5=10 n'est pas dans la table de 33), mais il est divisible par 5\purple{5} (il se termine par 55) : 55=5×1155=\purple{5}\times 11 ;
  • 1111 est un nombre premier : 11=11×111=\orange{11}\times 1.
    • On résume ces divisions dans un tableau :
    Il en résulte donc que la décomposition de 1  9801\;980 en produit de facteurs premiers s'écrit :
    1  980=22×32×5×111\;980=\red{2}^{2}\times \blue{3}^{2}\times \purple{5}\times \orange{11}
    Question 3

    En déduire PGCD(756;1  980)\text{PGCD}\left(756;1\;980\right).

    Correction
  • Le PGCD\text{PGCD} de deux entiers naturels a≥2a\geq 2 et b≥2b\geq 2 est le produit des facteurs premiers communs à leurs deux décompositions, chacun affecté du plus petit des deux exposants.
    • D'après les questions précédentes :
    756=22×33×7756=\red{2}^{2}\times \blue{3}^{3}\times \green{7} et 1  980=22×32×5×111\;980=\red{2}^{2}\times \blue{3}^{2}\times \purple{5}\times \orange{11}
    Les facteurs premiers communs sont 2\red{2} et 3\blue{3} :
  • pour 2\red{2}, le plus petit exposant est 22 ;
  • pour 3\blue{3}, le plus petit exposant est 22 (car 2<32\lt 3) ;
  • 7\green{7}, 5\purple{5} et 11\orange{11} n'apparaissent que dans une seule des deux décompositions.
    • Ainsi : PGCD(756;1  980)=22×32=4×9=36\text{PGCD}\left(756;1\;980\right)=\red{2}^{2}\times \blue{3}^{2}=4\times 9=36
    Vérification : 756=36×21756=36\times 21 et 1  980=36×551\;980=36\times 55, où 21=3×721=3\times 7 et 55=5×1155=5\times 11 n'ont aucun facteur premier commun.
    PGCD(756;1  980)=36\text{PGCD}\left(756;1\;980\right)=36

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