Nombres premiers

Petit théorème de Fermat - Exercice 2

5 min
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Question 1

Montrer que pour tout entier naturel nn, 510n15^{10n}-1 est divisible par 1111 .

Correction
    Petit theˊoreˋme de Fermat\red{\text{Petit théorème de Fermat}}
  • p\blue{p} désigne un nombre premier et a\pink{a} un nombre entier naturel non divisible par p\blue{p} .
    Alors ap11\pink{a}^{\blue{p}-1}-1 est divisible par pp c'est à dire ap11[p]\pink{a}^{\blue{p}-1} \equiv 1\left[\blue{p}\right]
  • 11\blue{11} est un nombre premier.
    5\pink{5} est non divisible par 11\blue{11}.
    D'après le petit théorème de Fermat on a alors : 51111[11]\pink{5}^{\blue{11}-1} \equiv 1\left[\blue{11}\right]
    Autrement dit :
    5101[11]5^{10} \equiv 1\left[11\right]

  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa et bb des entiers relatifs vérifiant : ab[m]a \equiv b\left[m\right] .
    Pour tout kNk\in \mathbb{N} on a : akbk[m]a^{k} \equiv b^{k}\left[m\right]
  • Soit nn un entier naturel et nous savons que 5101[11]5^{10} \equiv 1\left[11\right] alors on peut écrire que :
    (510)n1n[11]\left(5^{10} \right)^{n} \equiv 1^{n} \left[11\right]
    510n1[11]5^{10n} \equiv 1\left[11\right]
    Ainsi :
    510n10[11]5^{10n} -1\equiv 0\left[11\right]

    Il en résulte donc que pour tout entier naturel nn, 510n15^{10n}-1 est divisible par 1111