Nombres premiers

Petit théorème de Fermat - Exercice 1

5 min
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Question 1

Montrer que 1712≡1[13]17^{12} \equiv 1\left[13\right]

Correction
    Petit theˊoreˋme de Fermat\red{\text{Petit théorème de Fermat}}
  • p\blue{p} désigne un nombre premier et a\pink{a} un nombre entier naturel non divisible par p\blue{p} .
    Alors ap−1−1\pink{a}^{\blue{p}-1}-1 est divisible par pp c'est à dire ap−1≡1[p]\pink{a}^{\blue{p}-1} \equiv 1\left[\blue{p}\right]
    • 13\blue{13} est un nombre premier.
    17\pink{17} est non divisible par 13\blue{13} .
    D'après le petit théorème de Fermat on a alors : 1713−1≡1[13]\pink{17}^{\blue{13}-1} \equiv 1\left[\blue{13}\right]
    Autrement dit :
    1712≡1[13]17^{12} \equiv 1\left[13\right]
    Question 2

    Montrer que 126≡1[7]12^{6} \equiv 1\left[7\right]

    Correction
      Petit theˊoreˋme de Fermat\red{\text{Petit théorème de Fermat}}
  • p\blue{p} désigne un nombre premier et a\pink{a} un nombre entier naturel non divisible par p\blue{p} .
    Alors ap−1−1\pink{a}^{\blue{p}-1}-1 est divisible par pp c'est à dire ap−1≡1[p]\pink{a}^{\blue{p}-1} \equiv 1\left[\blue{p}\right]
    • 7\blue{7} est un nombre premier.
    12\pink{12} est non divisible par 7\blue{7} .
    D'après le petit théorème de Fermat on a alors : 127−1≡1[7]\pink{12}^{\blue{7}-1} \equiv 1\left[\blue{7}\right]
    Autrement dit :
    126≡1[7]12^{6} \equiv 1\left[7\right]