Nombres de Mersenne et autres nombres particuliers - Exercice 1

Posons $$x=2^{a}$$. Alors $$2^{ab}=\left(2^{a}\right)^{b}=x^{b}$$, donc :
$$2^{ab}-1=x^{b}-1$$
$$2^{ab}-1=\left(x-1\right)\left(x^{b-1}+x^{b-2}+\ldots +x+1\right)$$
$$2^{ab}-1=\left(2^{a}-1\right)\times q$$ où $$q=2^{a\left(b-1\right)}+2^{a\left(b-2\right)}+\ldots +2^{a}+1$$ est un entier naturel.

Par exemple, avec $$a=2$$ et $$b=3$$ : $$2^{2}-1=3$$ et $$2^{6}-1=63=3\times 21$$ .

$$\red{\text{Raisonnement par l'absurde}}$$ :
Supposons que $$M_{n}$$ est premier et que $$n$$ n'est pas premier. Comme $$n\geq 2$$, on peut écrire $$n=ab$$ avec $$a$$ et $$b$$ entiers naturels tels que $$2\le a\lt n$$.
D'après la question $$1$$, $$2^{a}-1$$ divise $$2^{ab}-1=M_{n}$$.
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$a\geq 2$$, donc $$2^{a}-1\geq 2^{2}-1=3$$ : $$2^{a}-1$$ est différent de $$1$$.
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$a\lt n$$, donc $$2^{a}-1\lt 2^{n}-1$$ : $$2^{a}-1$$ est différent de $$M_{n}$$.
$$\text{\blue{Conclusion :}}$$
$$M_{n}$$ admet un diviseur différent de $$1$$ et de lui-même : il n'est pas premier. On arrive à une contradiction : c'est donc que l'hypothèse faite est fausse.

$$M_{2}=2^{2}-1=3$$ ; $$M_{3}=2^{3}-1=7$$ ; $$M_{5}=2^{5}-1=31$$ ; $$M_{7}=2^{7}-1=127$$
$$3$$, $$7$$ et $$31$$ figurent dans la liste des nombres premiers inférieurs à $$100$$.
Pour $$127$$ : dans un premier temps, calculons $$\sqrt{127}\approx 11{,}27$$ . L'entier premier qui précède $$\sqrt{127}$$ est $$11$$ . Il vient alors :
$$127=63\times 2+1$$ . Donc $$127$$ n'est pas divisible par $$2$$ .
$$127=42\times 3+1$$ . Donc $$127$$ n'est pas divisible par $$3$$ .
$$127=25\times 5+2$$ . Donc $$127$$ n'est pas divisible par $$5$$ .
$$127=18\times 7+1$$ . Donc $$127$$ n'est pas divisible par $$7$$ .
$$127=11\times 11+6$$ . Donc $$127$$ n'est pas divisible par $$11$$ .
Donc $$127$$ est bien un nombre premier.
$$M_{11}=2^{11}-1=2\;047$$ et $$23\times 89=2\;047$$ : $$M_{11}$$ n'est pas premier, alors que $$11$$ est premier.